자연계열 4번

(a) 원뿔을 모서리 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 따라서 전개하면 오른쪽 그림과 같은 부채꼴이 된다. 원뿔에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 점 $\displaystyle \mathrm{B}$에서 점 $\displaystyle \mathrm{C}$까지의 최단거리 곡선에 있으므로, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 전개도에서 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$에 있다. $\displaystyle \alpha = \angle \mathrm{ABC} , \beta = \angle \mathrm{BAC} , \gamma = \angle \mathrm{BPA}$라 하자. 부채꼴의 호의 길이와 밑면인 원의 둘레의 길이가 같으므로 $\displaystyle 8 \times \beta = 2 \pi \times 2$이 성립한다. 그러므로 $\displaystyle \beta = \frac{{\pi}}{2}$이다. 또한, $\displaystyle \tan \alpha = \frac{{\mathrm{AC}}}{\mathrm{AB}} = \frac{{\frac{{8 \sqrt{3}}}{3}}}{8} = \frac{{\sqrt{3}}}{3}$이므로 $\displaystyle \alpha = \frac{{\pi}}{6}$이다.

$\displaystyle \theta$가 $\displaystyle 0$에서 $\displaystyle 2 \pi$까지 변할 때, $\displaystyle \angle \mathrm{BAP}$는 $\displaystyle 0$에서 $\displaystyle \frac{{\pi}}{2}$까지 변하므로, 비례식에 의하여 $\displaystyle \angle \mathrm{BAP} = \frac{{\theta}}{4}$이다. 이때 $\displaystyle \gamma=\pi-\alpha-\frac\theta4=\frac{5\pi}6-\frac\theta4$이다.이제 선분 $\displaystyle \mathrm{BP}$의 길이를 구하기 위하여 점 $\displaystyle \mathrm{B}$에서 직선 $\displaystyle \mathrm{AP}$에 수선을 내리고 그 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{Q}$라 하자. 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{AQB}$에서 $\displaystyle \sin \frac{{\theta}}{4} = \frac{{\overline{\mathrm{BQ}}}}{\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{{\overline{\mathrm{BQ}}}}{8}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}} = 8 \sin {\frac{\theta}{4}}$이다. 그리고 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{BQP}$에서 $\displaystyle \sin\gamma=\sin(\pi-\gamma)=\frac{\overline{\mathrm{\mathrm{BQ}}}}{\overline{\mathrm{\mathrm{BP}}}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{\mathrm{BP}}}=\frac{\overline{\mathrm{\mathrm{BQ}}}}{\sin\gamma}=\frac{8\sin\frac\theta4}{\sin\left(\frac{5\pi}6-\frac\theta4\right)}$이다.

(b) 문항 (a)에 의하여 $\displaystyle f(\theta)=\frac{8\sin\frac\theta4}{\sin\left(\frac{5\pi}6-\frac\theta4\right)}$이다. 이를 $\displaystyle \theta$에 대하여 미분하면 다음을 얻는다.$\displaystyle \frac{{d f}}{d \theta} = \frac{{2 \left( \cos \frac{{\theta}}{4} \sin \left( \frac{{5 \pi}}{6} - \frac{{\theta}}{4} \right) + \sin \frac{{\theta}}{4} \cos \left( \frac{{5 \pi}}{6} - \frac{{\theta}}{4} \right) \right)}}{\sin^{2} \left( \frac{{5 \pi}}{6} - \frac{{\theta}}{4} \right)} = \frac{{2 \sin \left( \frac{{\theta}}{4} + \frac{{5 \pi}}{6} - \frac{{\theta}}{4} \right)}}{\sin^{2} \left( \frac{{5 \pi}}{6} - \frac{{\theta}}{4} \right)} = \frac{{1}}{\sin^{2} \left( \frac{{5 \pi}}{6} - \frac{{\theta}}{4} \right)}$이다. $\displaystyle 0 \leq \theta \le 2 \pi$이므로 $\displaystyle \frac{{\pi}}{3} \le \frac{{5 \pi}}{6} - \frac{{\theta}}{4} \le \frac{{5 \pi}}{6}$이다. 이 범위에서 $\displaystyle \frac{{5 \pi}}{6} - \frac{{\theta}}{4} = \frac{{\pi}}{2}$일 때 즉, $\displaystyle \theta = \frac{{4 \pi}}{3}$일 때 $\displaystyle \sin^{2} \left( \frac{{5 \pi}}{6} - \frac{{\theta}}{4} \right)$는 최댓값 $\displaystyle 1$을 갖고, 이때 $\displaystyle \frac{{d f}}{d \theta}$는 최솟값 $\displaystyle 1$을 갖는다.