자연계열 1번

(a) 항등식$\displaystyle ( x^{2} + A x + 3 a^{2} + 5 a + 1 ) ( x^{2} + B x + a )= x^{4} + ( 6 a + 2 ) x^{3} + ( 11 a^{2} + 10 a + 1 ) x^{2}+ ( 6 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a ) x+ 3 a^{3} + 5 a^{2} + a$에서 이차항의 계수를 비교하면 $\displaystyle a + AB + 3 a^{2} + 5 a + 1 = 11 a^{2} + 10 a + 1$이므로$\displaystyle AB = ( 11 a^{2} + 10 a + 1 ) - a - ( 3 a^{2} + 5 a + 1 ) = 8 a^{2} + 4 a$$\displaystyle \cdots$㉠이다. 삼차항의 계수를 비교하면$\displaystyle A + B = 6 a + 2$$\displaystyle \cdots$㉡이다. 따라서 ㉠과 ㉡에 의해 $\displaystyle B ( 6 a + 2 ) = BA + B^{2} = 8 a^{2} + 4 a + B^{2}$이다. 즉,$\displaystyle B^{2} - ( 6 a + 2 ) B + 8 a^{2} + 4 a = 0$이므로 $\displaystyle B = 2 a$ 또는 $\displaystyle B = 4 a + 2$이다. ㉡에 의해 $\displaystyle A = 2 a$, $\displaystyle B = 4 a + 2$이거나 $\displaystyle A = 4 a + 2$, $\displaystyle B = 2 a$인데, $\displaystyle A = 4 a + 2$이고 $\displaystyle B = 2 a$인 경우에만 주어진 등식을 만족시킨다. 그러므로Caution. 방정식을 풀 때는 주어진 범위에서 모든 해를 찾아야 한다: $\displaystyle a=-\frac13$이면 두 이차인수의 상수항이 모두 $\displaystyle -\frac13$이므로 $\displaystyle A=-\frac23,\ B=\frac23$도 주어진 등식을 만족시킨다. 따라서 이 경우에는 두 해를 모두 포함해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle A = 4 a + 2$, $\displaystyle B = 2 a$이다.

(b) (a)에 의해 $\displaystyle f ( x ) = ( x^{2} + ( 4 a + 2 ) x + 3 a^{2} + 5 a + 1 ) ( x^{2} + 2 a x + a )$이므로$\displaystyle p ( x ) = x^{2} + ( 4 a + 2 ) x + 3 a^{2} + 5 a + 1$, $\displaystyle q ( x ) = x^{2} + 2 a x + a$라 하자.$\displaystyle m_{a} \ge 0$이면 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f ( x ) \ge 0$이므로, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle p ( x )$와 $\displaystyle q ( x )$의 부호는 서로 같아야만 한다. 이제 두 이차방정식 $\displaystyle p ( x ) = 0$, $\displaystyle q ( x ) = 0$의 판별식을 각각 $\displaystyle D_{1}$, $\displaystyle D_{2}$라 하면 $\displaystyle \frac{D_{1}}{4} = \frac{D_{2}}{4} = a^{2} - a$이다.(i) $\displaystyle a^{2} - a \le 0$인 경우모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle p ( x ) \ge 0$, $\displaystyle q ( x ) \ge 0$이다. 따라서 $\displaystyle 0 \le a \le 1$이다.(ii) $\displaystyle a^{2} - a > 0$인 경우두 방정식 $\displaystyle p ( x ) = 0$, $\displaystyle q ( x ) = 0$이 각각 서로 다른 두 실근을 가지므로, 두 부등식 $\displaystyle p ( x ) \le 0$, $\displaystyle q ( x ) \le 0$을 만족시키는 해의 범위가 같을 때에만 $\displaystyle f ( x ) = p ( x ) q ( x ) \ge 0$이다. 그런데 $\displaystyle p ( x )$와 $\displaystyle q ( x )$의 이차항의 계수가 모두 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle p ( x ) = q ( x )$, 즉 $\displaystyle 4 a + 2 = 2 a$와 $\displaystyle 3 a^{2} + 5 a + 1 = a$이다. 따라서 $\displaystyle a = - 1$이다.그러므로 (i)과 (ii)에 의해 $\displaystyle \{a\mid m_a\ge0\}=\{a\mid a=-1\text{ 또는 }0\le a\le1\}$이다.