자연계열 3번

그림과 같이 사면체 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$를 점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 원점, 반직선 $\displaystyle \mathrm{CA}$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향, 반직선 $\displaystyle \mathrm{CB}$가 $\displaystyle y$축의 양의 방향이 되도록 공간좌표에 놓고, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$에서 평면 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H} \left( x , y , 0 \right)$이라고 하자. 이때 $\displaystyle \mathrm{A} \left( b , 0 , 0 \right)$이고 $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0 , a , 0 \right)$이다.

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{CDH}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{CDH} = \theta$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}} = 4 \sin \theta$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{DH}} = 4 \cos \theta$이다. 한편 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}}^{2} = x^{2} + y^{2}$이므로Comment. 대학 답안은 법선벡터를 D가 있는 쪽으로 택하여 $\displaystyle \overline{DH}=4\cos\theta$로 쓴 것이다. 법선벡터를 반대로 택하면 $\displaystyle \cos\theta$의 부호가 바뀌므로, 방향을 한정하지 않으면 $\displaystyle \overline{DH}=4|\cos\theta|$이다. 구하는 $\displaystyle \cos^2\theta$의 값은 어느 방향을 택해도 같다.$\displaystyle x^{2} + y^{2} = 16 \sin^{2} \theta$$\displaystyle \cdots$㉠이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}}^{2} = ( x - b )^{2} + y^{2}$, $\displaystyle \angle \mathrm{DHA}$가 직각이므로$\displaystyle ( x - b )^{2} + y^{2} = 25 - 16 \cos^{2} \theta$$\displaystyle \cdots$㉡이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}}^{2} = x^{2} + ( y - a )^{2}$이고 $\displaystyle \angle \mathrm{DHB}$가 직각이므로$\displaystyle x^{2} + ( y - a )^{2} = 25 - 16 \cos^{2} \theta$$\displaystyle \cdots$㉢이다.

㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 $\displaystyle x=\frac{b^2-9}{2b}$이고, ㉠과 ㉢을 연립하여 풀면 $\displaystyle y=\frac{a^2-9}{2a}$이다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{D}\left(\frac{b^2-9}{2b},\frac{a^2-9}{2a},4\cos\theta\right)$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}^{2}= 16$이므로$\displaystyle \left(\frac{b^2-9}{2b}\right)^2+\left(\frac{a^2-9}{2a}\right)^2+16\cos^2\theta=16$이다. 그러므로 $\displaystyle \cos^2\theta=1-\left(\frac{a^2-9}{8a}\right)^2-\left(\frac{b^2-9}{8b}\right)^2$이다.