수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2번

서울시립대 2019학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/uos/2019su/jayeon_2

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[문제 2] (100점)

3\displaystyle 3개의 당첨 제비를 포함하여 2n\displaystyle 2 n개의 제비가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 A\displaystyle \mathrm{A}, B\displaystyle \mathrm{B} 두 사람이 A\displaystyle \mathrm{A}부터 시작하여 A\displaystyle \mathrm{A}와 B\displaystyle \mathrm{B}가 교대로 제비를 한 개씩 임의로 뽑는다. 당첨 제비가 처음 나오면 이 시행을 멈추기로 할 때, A\displaystyle \mathrm{A}가 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하여라. (단, n\displaystyle n은 1\displaystyle 1보다 큰 자연수이고, 꺼낸 제비는 상자 안에 다시 넣지 않는다.)

해설강의 준비중

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A\displaystyle \mathrm{A}는 최대 n−1\displaystyle n - 1회까지 제비를 뽑을 수 있다. 당첨 제비를 ○, 비당첨 제비를 ×로 나타내면 A\displaystyle \mathrm{A}가 당첨 제비를 뽑는 경우와 확률은 다음 표와 같다.

횟수ABABA⋯ABA확률
1○32n\displaystyle \frac3{2n}
2××○2n−32n×2n−42n−1×32n−2=3(n−2)(2n−3)2n(n−1)(2n−1)\displaystyle \frac{2n-3}{2n}\times\frac{2n-4}{2n-1}\times\frac3{2n-2}= \frac{{3 ( n - 2 ) ( 2 n - 3 )}}{2 n ( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}
3××××○2n−32n×2n−42n−1×2n−52n−2×2n−62n−3×32n−4=3(n−3)(2n−5)2n(n−1)(2n−1)\displaystyle \frac{2n-3}{2n}\times\frac{2n-4}{2n-1}\times\frac{2n-5}{2n-2}\times\frac{2n-6}{2n-3}\times\frac3{2n-4}= \frac{{3 ( n - 3 ) ( 2 n - 5 )}}{2 n ( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}
⋮⋮
n−1\displaystyle n - 1×××××⋯××○2n−32n×2n−42n−1×⋯×36×25×34=92n(n−1)(2n−1)\displaystyle \frac{2n-3}{2n}\times\frac{2n-4}{2n-1}\times\cdots\times\frac36\times\frac25\times\frac34=\frac9{2n(n-1)(2n-1)}

A\displaystyle \mathrm{A}가 k(1≤k≤n−1)\displaystyle k ( 1 \le k \le n - 1 )번 만에 당첨 제비를 뽑을 확률은3(n−k)(2n−2k+1)2n(n−1)(2n−1)\displaystyle \frac{{3 ( n - k ) ( 2 n - 2 k + 1 )}}{2 n ( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}이다. 따라서 A\displaystyle \mathrm{A}가 당첨 제비를 뽑을 확률 p\displaystyle p는p=∑k=1n−1{3(n−k)(2n−2k+1)2n(n−1)(2n−1)}=32n(n−1)(2n−1)∑k=1n−1{2k2−(4n+1)k+n(2n+1)}=4n+14(2n−1)\displaystyle \begin{aligned}p&=\sum_{k=1}^{n-1}\left\{\frac{3(n-k)(2n-2k+1)}{2n(n-1)(2n-1)}\right\}\\&=\frac3{2n(n-1)(2n-1)}\sum_{k=1}^{n-1}\{2k^2-(4n+1)k+n(2n+1)\}\\&=\frac{4n+1}{4(2n-1)}\end{aligned}이다.

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