자연계열 4번

그림과 같이 두 직사각형 $\displaystyle R_{1}$, $\displaystyle R_{2}$가 한 변에서 맞닿아 있고, 직사각형 $\displaystyle R_{2}$의 오른쪽 변이 직선 $\displaystyle x = 2$에 있으며, 각 직사각형의 한 꼭짓점이 곡선 $\displaystyle y = e^{x}$에 있을 때 두 직사각형 넓이의 합이 최대가 될 수 있다.

$\displaystyle 0 < a < 2$인 실수 $\displaystyle a$에 대하여 두 직사각형이 직선 $\displaystyle x = a$에서 맞닿아 있다고 가정하자. $\displaystyle R_{1}$의 왼쪽 변이 놓인 직선의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle t ( 0 \le t < a )$라 하면 $\displaystyle S_{1} = ( a - t ) e^{t}$이다.실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( x )$를 $\displaystyle f ( x ) = ( a - x ) e^{x}$이라 하자.그러면 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = ( - 1 + a - x ) e^{x}$이고 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0$의 해는 $\displaystyle x = a - 1$이다.

따라서 $\displaystyle f ( x )$의 최댓값은 $\displaystyle f(a-1)=e^{a-1}$이므로 $\displaystyle S_1\le e^{a-1}$이다. 한편 $\displaystyle S_{2} = ( 2 - a ) e^{a}$이므로$\displaystyle S_1+S_2\le e^{a-1}+(2-a)e^a=e^a\left(2+\frac1e-a\right)$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle g ( x )$를 $\displaystyle g ( x ) = e^{x} \left( 2 + \frac{1}{e} - x \right)$라 하자. 그러면 $\displaystyle g^{\prime} ( x ) = e^{x} \left( 1 + \frac{1}{e} - x \right)$이고 $\displaystyle g^{\prime} ( x ) = 0$의 해는 $\displaystyle x = 1 + \frac{1}{e}$이다.

따라서 $\displaystyle g ( x )$의 최댓값은 $\displaystyle g \left( 1 + \frac{1}{e} \right) = e^{1 + \frac{1}{e}}$이므로$\displaystyle S_{1} + S_{2} \le e^{1 + \frac{1}{e}}$이다. 한편 $\displaystyle R_{1}$의 왼쪽 변이 직선 $\displaystyle x = \frac{1}{e}$에 있고, $\displaystyle R_{2}$의 왼쪽 변이 직선 $\displaystyle x = 1 + \frac{1}{e} \left( 0 < 1 + \frac{1}{e} < 2 \right)$에 있을 때,$\displaystyle S_{1} + S_{2} = \left( 1 + \frac{1}{e} - \frac{1}{e} \right) e^{\frac{1}{e}} + \left\{ 2 - \left( 1 + \frac{1}{e} \right) \right\} e^{1 + \frac{1}{e}} = e^{1 + \frac{1}{e}}$이다. 그러므로 $\displaystyle S_{1} + S_{2}$의 최댓값은 $\displaystyle e^{1 + \frac{1}{e}}$이다.