자연계열 1번

$\displaystyle \begin{aligned}a_1&=0+1+2^a+3^a+\cdots+(2n-1)^a\\a_2&=1+0+1+2^a+\cdots+(2n-2)^a\\&\vdots\\a_n&=(n-1)^a+(n-2)^a+\cdots+1+0+1+2^a+\cdots+n^a\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle 1 \le k \le n$, $\displaystyle 1 \le l \le 2 n$, $\displaystyle 0 \le m \le 2 n - 1$에 대해 $\displaystyle | k - l | = m$인 두 자연수의 순서쌍 $\displaystyle \left( k , l \right)$의 개수는 다음과 같다.

[1] $\displaystyle m = 0$인 것은 $\displaystyle \left( 1 , 1 \right)$, $\displaystyle \left( 2 , 2 \right)$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle \left( n , n \right)$로 모두 $\displaystyle n$개이다.

[2] $\displaystyle 1 \le m \le n - 1$인 것은$\displaystyle ( m + 1 , 1 )$, $\displaystyle ( m + 2 , 2 )$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle ( n , n - m )$, $\displaystyle ( 1 , m + 1 )$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle ( n , n + m )$의 $\displaystyle 2 n - m$개이다.

[3] $\displaystyle n \le m \le 2 n - 1$인 것은 $\displaystyle ( 1 , m + 1 )$, $\displaystyle ( 2 , m + 2 )$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle ( 2 n - m , 2 n )$의 $\displaystyle 2 n - m$개이다.

따라서 $\displaystyle S_n=\sum_{m=1}^{2n-1}(2n-m)m^a=\sum_{m=1}^{2n}(2n-m)m^a$이므로$\displaystyle \frac{S_n}{n^{a+2}}=\sum_{m=1}^{2n}\frac{(2n-m)m^a}{n^{a+2}}=2\sum_{m=1}^{2n}\left(\frac mn\right)^a\frac1n-\sum_{m=1}^{2n}\left(\frac mn\right)^{a+1}\frac1n$이다. 또 정적분과 무한급수의 관계에 의해 $\displaystyle [ 0 , 1 ]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f ( x )$에 대하여Comment. 대학 답안에서는 $\displaystyle [1,2]$에서의 정적분을 합의 극한으로 나타낼 때 필요한 연속성 확인이 생략되어 있다. 이 단계는 $\displaystyle f(1+x)$에 $\displaystyle [0,1]$에서의 정적분과 합의 극한 관계를 적용한 것이므로, $\displaystyle f$가 $\displaystyle [1,2]$에서도 연속임을 확인해야 한다. 실제로 사용한 함수 $\displaystyle x^a$와 $\displaystyle x^{a+1}$은 $\displaystyle a>0$에서 $\displaystyle [0,2]$ 전체에 걸쳐 연속이므로 이 계산이 성립한다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^n f\left(\frac mn\right)\frac1n=\int_0^1f(x)\,dx$이므로 치환적분에 의해$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{m=n+1}^{2n}f\left(\frac mn\right)\frac1n=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^nf\left(1+\frac mn\right)\frac1n=\int_0^1f(1+x)\,dx=\int_1^2f(x)\,dx$이고,$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^{2n}f\left(\frac mn\right)\frac1n&=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^nf\left(\frac mn\right)\frac1n+\lim_{n\to\infty}\sum_{m=n+1}^{2n}f\left(\frac mn\right)\frac1n\\&=\int_0^1f(x)\,dx+\int_1^2f(x)\,dx=\int_0^2f(x)\,dx\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^{a+2}}&=2\int_0^2x^a\,dx-\int_0^2x^{a+1}\,dx\\&=\frac{2^{a+2}}{(a+1)(a+2)}\end{aligned}$이다.