자연계열 4번

직사각형의 네 꼭짓점 중 많아야 한 개가 정삼각형의 변에 있으면 직사각형이 정삼각형 내부에 포함되도록 직사각형의 가로와 세로의 길이를 키울 수 있다. 또 직사각형의 네 꼭짓점 중 $\displaystyle 2$개만이 정삼각형의 변에 있으면, 직사각형의 네 꼭짓점 중 많아야 한 개가 정삼각형의 변에 있도록 평행이동 할 수 있다.

따라서 직사각형의 네 꼭짓점 중 적어도 $\displaystyle 3$개가 정삼각형의 변에 있을 때, 직사각형 넓이의 최댓값을 구하면 된다.

두 꼭짓점이 한 변에 있는 경우 다른 두 꼭짓점은 이미 삼각형의 다른 두 변에 있거나 다른 두 변에 있도록 키울 수 있다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$, $\displaystyle \mathrm{R}$은 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$에 있다고 하여도 무방하다. $\displaystyle \mathrm{P}$에서 변 $\displaystyle \mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 점 $\displaystyle \mathrm{H}$, $\displaystyle a = \overline{\mathrm{BQ}}$, $\displaystyle \theta = \angle \mathrm{PQB}$라 하자. 이때 다음이 성립한다.

[1] 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{S}$는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 변 또는 내부에 있으므로$\displaystyle \angle \mathrm{APQ} = \angle \mathrm{PBQ} + \angle \mathrm{PQB} = \frac{\pi}{3} + \theta \ge \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \angle \mathrm{ARQ} = \angle \mathrm{RCQ} + \angle \mathrm{RQC} = \frac{\pi}{3} + \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \ge \frac{\pi}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}$이다.

[2] $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} \sin \frac{\pi}{3} = \overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{PQ}} \sin \theta$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{PQ}} \sin \theta \times \frac{2}{\sqrt{3}}$이다.

[3] $\displaystyle a = \overline{\mathrm{BQ}} = \overline{\mathrm{BH}} + \overline{\mathrm{HQ}} = \overline{\mathrm{BP}} \cos \frac{\pi}{3} + \overline{\mathrm{PQ}} \cos \theta$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} \left( \frac{{\sin \theta}}{\sqrt{3}} + \cos \theta \right) = a$이다.

같은 방법으로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} \left( \frac{{\sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)}}{\sqrt{3}} + \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \right)= \overline{\mathrm{QR}} \left( \frac{{\cos \theta}}{\sqrt{3}} + \sin \theta \right)= 1 - a$이다.

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} \left( \frac{{\sin \theta}}{\sqrt{3}} + \cos \theta \right) \times \overline{\mathrm{QR}} \left( \frac{{\cos \theta}}{\sqrt{3}} + \sin \theta \right)= a ( 1 - a )$이고

$\displaystyle \left( \frac{{\sin \theta}}{\sqrt{3}} + \cos \theta \right) \times \left( \frac{{\cos \theta}}{\sqrt{3}} + \sin \theta \right)= \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{{4 \sin \theta \cos \theta}}{3}= \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{{2 \sin 2 \theta}}{3}$이므로

$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} \times \overline{\mathrm{QR}} = \frac{{3 a ( 1 - a )}}{\sqrt{3} + 2 \sin 2 \theta}$이다.

또 $\displaystyle a ( 1 - a ) = - \left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{1}{4}$이고, $\displaystyle \frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle 2 \sqrt{3} \le \sqrt{3} + 2 \sin 2 \theta \le \sqrt{3} + 2$이다.

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} \times \overline{\mathrm{QR}} \le \frac{3}{4} \times \frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{8}$이고 등호는 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$ 또는 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$일 때 성립한다.그러므로 구하는 최댓값은 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}$이다.