자연계열 3번

점 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( x , x^{3} - a^{2} x \right)$에서 $\displaystyle x$축까지의 거리는 $\displaystyle | x^{3} - a^{2} x |$이고 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 $\displaystyle y$축까지의 거리는 $\displaystyle | x |$이다. 또$\displaystyle | x^{3} - a^{2} x | < | x |$ ⇔ $\displaystyle | x^{2} - a^{2} | < 1$ ⇔ $\displaystyle a^{2} - 1 < x^{2} < a^{2} + 1$Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: 위 동치관계는 $\displaystyle |x|$로 나누므로 $\displaystyle x\ne0$일 때 성립한다. $\displaystyle x=0$에서는 두 거리가 모두 $\displaystyle 0$이어서 $\displaystyle g(0)=0$이다. 이 경우를 따로 확인하면 최종 결과는 같다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로 다음이 성립한다.

[1] $\displaystyle a > 1$일 때 $\displaystyle | x^{3} - a^{2} x | < | x |$ ⇔ $\displaystyle \sqrt{a^{2} - 1} < | x | < \sqrt{a^{2} + 1}$이므로$\displaystyle g(x)=\begin{cases}|x|,&|x|\ge\sqrt{a^2+1}\\|x^3-a^2x|,&\sqrt{a^2-1}<|x|<\sqrt{a^2+1}\\|x|,&|x|\le\sqrt{a^2-1}\end{cases}$이다.

[2] $\displaystyle 0 < a \le 1$일 때 $\displaystyle | x^{3} - a^{2} x | < | x |$ ⇔ $\displaystyle | x | < \sqrt{a^{2} + 1}$이므로$\displaystyle g(x)=\begin{cases}|x|,&|x|\ge\sqrt{a^2+1}\\|x^3-a^2x|,&|x|<\sqrt{a^2+1}\end{cases}$이다.

[3] $\displaystyle a = 0$일 때$\displaystyle g(x)=\begin{cases}|x|,&|x|\ge1\\|x^3|,&|x|<1\end{cases}$이다.또 방정식 $\displaystyle x^{3} - a^{2} x = 0$의 근은 $\displaystyle 0$, $\displaystyle \pm a$이다.

a) 위에서 보인 바에 의해 $\displaystyle a$의 값의 범위에 따라 $\displaystyle g ( x )$가 미분가능하지 않은 $\displaystyle x$는 다음과 같다.

b) 위에서 그린 그래프를 보면 둘러싸인 영역의 넓이는 모든 경우에 대해 $\displaystyle 2 \int_{0}^{a} ( a^{2} x - x^{3} ) d x = \frac{a^{4}}{2}$이다.