자연계열 2번

시각 $\displaystyle t$일 때 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} | \sin ( 4 \cos 4 t - 8 \cos 2 t ) |$이다.

$\displaystyle f ( t ) = 4 \cos 4 t - 8 \cos 2 t$라 하면 $\displaystyle f^{\prime} ( t ) = - 16 \sin 4 t + 16 \sin 2 t= - 32 \sin 2 t \cos 2 t + 16 \sin 2 t= - 16 \sin 2 t ( 2 \cos 2 t - 1 )$이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( t ) = 0$이면 $\displaystyle \sin 2 t = 0$이거나 $\displaystyle \cos 2 t = \frac{1}{2}$이다.

$\displaystyle \sin 2 t = 0$에서 $\displaystyle t = 0$, $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \pi$, $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$, $\displaystyle 2 \pi$이고 $\displaystyle \cos 2 t = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle t = \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle \frac{5}{6} \pi$, $\displaystyle \frac{7}{6} \pi$, $\displaystyle \frac{11}{6} \pi$이다.

$\displaystyle y = f ( t )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

삼각형의 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle f ( t ) = \frac{{( 2 n + 1 )}}{2} \pi$ $\displaystyle \left( n = - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 \right)$을 만족하는 $\displaystyle t$에서 최댓값을 갖는다. 그래프 개형에서 교점의 개수를 세면 총 $\displaystyle 28$개이다.