서울시립대 2020학년도 모의 자연계열 2번 해설

[문제 2] (100점)

좌표평면에서 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$ 이고 중심이 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 인 원에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 움직인다. 시각 $\displaystyle t$ 일 때 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각은 각각 $\displaystyle 4 \cos 4 t$ , $\displaystyle 8 \cos 2 t$ 이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이가 최대가 되는 $\displaystyle t$ 의 개수를 구하여라. (단, $\displaystyle 0 \le t \le 2 \pi$ )

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시각 $\displaystyle t$ 일 때 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} | \sin ( 4 \cos 4 t - 8 \cos 2 t ) |$ 이다.

$\displaystyle f ( t ) = 4 \cos 4 t - 8 \cos 2 t$ 라 하면 $\displaystyle f^{\prime} ( t ) = - 16 \sin 4 t + 16 \sin 2 t= - 32 \sin 2 t \cos 2 t + 16 \sin 2 t= - 16 \sin 2 t ( 2 \cos 2 t - 1 )$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( t ) = 0$ 이면 $\displaystyle \sin 2 t = 0$ 이거나 $\displaystyle \cos 2 t = \frac{1}{2}$ 이다.

$\displaystyle \sin 2 t = 0$ 에서 $\displaystyle t = 0$ , $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ , $\displaystyle \pi$ , $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$ , $\displaystyle 2 \pi$ 이고 $\displaystyle \cos 2 t = \frac{1}{2}$ 에서 $\displaystyle t = \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{5}{6} \pi$ , $\displaystyle \frac{7}{6} \pi$ , $\displaystyle \frac{11}{6} \pi$ 이다.

$\displaystyle t$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$		$\displaystyle \frac{\pi}{2}$		$\displaystyle \frac{5}{6} \pi$		$\displaystyle \pi$		$\displaystyle \frac{7}{6} \pi$		$\displaystyle \frac{3}{2} \pi$		$\displaystyle \frac{11}{6} \pi$		$\displaystyle 2 \pi$
$\displaystyle f^{\prime} ( t )$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle f ( t )$	$\displaystyle - 4$	↘	$\displaystyle - 6$	↗	$\displaystyle 12$	↘	$\displaystyle - 6$	↗	$\displaystyle - 4$	↘	$\displaystyle - 6$	↗	$\displaystyle 12$	↘	$\displaystyle - 6$	↗	$\displaystyle - 4$

$\displaystyle y = f ( t )$ 의 그래프의 개형은 다음과 같다.

삼각형의 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이는 $\displaystyle f ( t ) = \frac{{( 2 n + 1 )}}{2} \pi$ $\displaystyle \left( n = - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 \right)$ 을 만족하는 $\displaystyle t$ 에서 최댓값을 갖는다. 그래프 개형에서 교점의 개수를 세면 총 $\displaystyle 28$ 개이다.

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자연계열 2번

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