자연계열 1번

$\displaystyle (a,b,c)$가 주어진 집합의 원소이면 $\displaystyle a,b,c$의 순서를 바꿔도 주어진 집합의 원소가 되므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^m x_k^2=\sum_{k=1}^m y_k^2=\sum_{k=1}^m z_k^2$이다. 따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^m(x_k^2+y_k^2+z_k^2)=3\sum_{k=1}^m x_k^2$이다.

$\displaystyle x_k=l\ (l=1,2,3,\cdots,n)$일 때 가능한 $\displaystyle y_k,z_k$의 순서쌍 $\displaystyle (y_k,z_k)$는$\displaystyle (1,n-l+1),\ (2,n-l),\ \cdots,\ (n-l+1,1)$로 총 $\displaystyle (n-l+1)$개이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^m x_k^2&=\sum_{l=1}^n l^2(n-l+1)\\&=(n+1)\sum_{l=1}^n l^2-\sum_{l=1}^n l^3\\&=\frac{(n+1)n(n+1)(2n+1)}6-\frac{n^2(n+1)^2}4\\&=\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^m(x_k^2+y_k^2+z_k^2)=3\sum_{k=1}^m x_k^2=\frac{n(n+1)^2(n+2)}4$이다.