자연계열 3번

$\displaystyle S_n=\int_0^\pi|e^{-x}\sin nx|\,dx$이다. 닫힌 구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 방정식 $\displaystyle e^{-x}\sin nx=0$의 근은$\displaystyle x=0,\frac\pi n,\cdots,\frac{(n-1)\pi}{n},\pi$이다. $\displaystyle k=1,\cdots,n$에 대해$\displaystyle a_k=\int_{\frac{(k-1)\pi}{n}}^{\frac{k\pi}{n}}|e^{-x}\sin nx|\,dx=\left|\int_{\frac{(k-1)\pi}{n}}^{\frac{k\pi}{n}}e^{-x}\sin nx\,dx\right|$라 하면 $\displaystyle S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$이다. 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \int e^{-x}\sin nx\,dx=-\frac{e^{-x}(\sin nx+n\cos nx)}{n^2+1}$이다. 따라서 $\displaystyle a_k=\left|\int_{\frac{(k-1)\pi}{n}}^{\frac{k\pi}{n}}e^{-x}\sin nx\,dx\right|=\frac{ne^{-\frac{k\pi}{n}}}{n^2+1}\left(1+e^{\frac\pi n}\right)$이므로$\displaystyle S_n=\frac{n}{n^2+1}\sum_{k=1}^n\left\{e^{-\frac{(k-1)\pi}{n}}+e^{-\frac{k\pi}{n}}\right\}=\frac{2n}{n^2+1}\sum_{k=1}^n e^{-\frac{k\pi}{n}}+\frac{n}{n^2+1}\left(1-e^{-\frac\pi n}\right)$Correction. 합을 정리하면서 생긴 마지막 항의 $\displaystyle 1-e^{-\pi/n}$은 $\displaystyle 1-e^{-\pi}$가 맞다. 이 항은 여전히 $\displaystyle 0$으로 수렴하므로 최종 극한값에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. $\displaystyle 0\le1-e^{-\frac\pi n}\le1$이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의해$\displaystyle \lim_{n\to\infty}0\le\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}\left(1-e^{-\frac\pi n}\right)\le\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}=0$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}\left(1-e^{-\frac\pi n}\right)=0$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{n^2+1}=2$이고, 정적분과 급수의 관계에 의해$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n e^{-\frac{k\pi}{n}}=\int_0^1e^{-\pi x}\,dx=\frac{1-e^{-\pi}}\pi$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{n^2+1}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n e^{-\frac{k\pi}{n}}+\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}\left(1-e^{-\frac\pi n}\right)=\frac{2(1-e^{-\pi})}\pi$이다.