자연계열 4번

(a) 오른쪽 그림에서 정오각형의 성질에 의해 $\displaystyle \triangle \mathrm{ACF}$, $\displaystyle \triangle \mathrm{CDF}$는 각각 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} = \overline{\mathrm{CF}} = \overline{\mathrm{CD}} = 2$이다. 대각선 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 길이를 $\displaystyle x$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{FD}} = x - 2$이고, $\displaystyle \triangle \mathrm{ACD}$와 $\displaystyle \triangle \mathrm{CDF}$는 닮음이므로 $\displaystyle x : 2 = 2 : x - 2$이다. 따라서 $\displaystyle x^{2} - 2 x - 4 = 0$이고 대각선의 길이는 $\displaystyle x = 1 + \sqrt{5}$이다.

(b) $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 c$라 하자. 두 면 $\displaystyle \mathrm{PAC}$와 $\displaystyle \mathrm{PAD}$의 교선은 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}$이다. [그림 1]과 같이 면 $\displaystyle \mathrm{PAC}$의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 직선 $\displaystyle \mathrm{AP}$에 내린 수선을 발을 $\displaystyle \mathrm{Q}$라고 하자. 이 때 대칭성에 의하여 직선 $\displaystyle \mathrm{AP}$는 두 직선 $\displaystyle \mathrm{QC}$, $\displaystyle \mathrm{QD}$와 수직이다. 그러므로 두 면 $\displaystyle \mathrm{PAC}$와 $\displaystyle \mathrm{PAD}$가 이루는 이면각의 크기는 $\displaystyle \theta = \angle \mathrm{CQD}$이다. [그림 2]와 같이 $\displaystyle \mathrm{Q}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{Q}_{2}$를 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 $\displaystyle \mathrm{AE}$에 내린 수선의 발이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{QC}} = \overline{\mathrm{Q}_{1} \mathrm{C}} = \overline{\mathrm{Q}_{2} \mathrm{D}} = \overline{\mathrm{QD}}$이다.

[그림 2]의 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 길이가 $\displaystyle ( 1 + \sqrt{5} ) c$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{BAC} = \alpha$라 하면$\displaystyle \cos \alpha = \frac{{1 + \sqrt{5}}}{4}$, $\displaystyle \sin^{2} \alpha = \frac{{5 - \sqrt{5}}}{8}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{Q}_{1} \mathrm{C}} = ( 1 + \sqrt{5} ) c \sin \alpha$이다.

[그림 1]의 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{QCD}$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$의 중점을 점 $\displaystyle \mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{\overline{\mathrm{CM}}}{\overline{\mathrm{QC}}} = \frac{1}{( 1 + \sqrt{5} ) \sin \alpha}$이다. 따라서

$\displaystyle \cos \theta = 1 - 2 \sin^{2} \frac{\theta}{2} = 1 - \frac{2}{( 1 + \sqrt{5} )^{2} \sin^{2} \alpha} = \frac{\sqrt{5}}{5}$이므로 $\displaystyle a = 0$, $\displaystyle b = \frac{1}{5}$, $\displaystyle a + b = \frac{1}{5}$이다.