자연계열 2번

포물선의 초점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{F}(0,1)$이다. 점 P를 $\displaystyle \left(t,\frac14t^2\right)\ (t>0)$라 하자.점 P에서 $\displaystyle y$축에 내린 수선의 발을 Q라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}}=1+\frac14t^2$이므로,$\displaystyle \sin\theta=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\overline{\mathrm{FP}}}=\frac{t}{1+\frac14t^2}=\frac{4t}{4+t^2},\quad\cos\theta=\frac{4-t^2}{4+t^2}$이다. 이 식을 $\displaystyle t$에 관하여 풀면 $\displaystyle t=\frac{2(1-\cos\theta)}{\sin\theta}$이고 $\displaystyle \frac{dt}{d\theta}=\frac2{1+\cos\theta}$이다.합성함수의 미분법에 의해 $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=\frac{dS}{dt}\cdot\frac{dt}{d\theta}$이다. $\displaystyle S(\theta)$를 $\displaystyle t$에 관한 식으로 나타내면$\displaystyle S(\theta)=\frac12\left(1+\frac14t^2\right)t-\int_0^t\frac14x^2\,dx=\frac1{24}t^3+\frac12t$이므로 $\displaystyle \frac{dS}{dt}=\frac18t^2+\frac12$이다.$\displaystyle \theta=\frac\pi3$일 때 $\displaystyle t=\frac2{\sqrt3}$, $\displaystyle \frac{dt}{d\theta}=\frac43$, $\displaystyle \frac{dS}{dt}=\frac23$이므로 $\displaystyle S^{\prime}\left(\frac\pi3\right)=\frac23\times\frac43=\frac89$이다.