자연계열 1번

(a) $\displaystyle p(t)>0$이고 $\displaystyle -t^{2}(p(t))^{2}+1=(2\tan t)p(t)$이므로 $\displaystyle p(t)=\frac{-\tan t+\sqrt{\tan^{2}t+t^{2}}}{t^{2}}$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{t\to0+}tp(t)=\lim_{t\to0+}\frac{-\tan t+\sqrt{\tan^{2}t+t^{2}}}{t}=\lim_{t\to0+}\left(-\frac{\tan t}{t}+\sqrt{\frac{\tan^{2}t}{t^{2}}+1}\right)=\sqrt{2}-1$이다.

(b) $\displaystyle A(t)+B(t)=\int_{0}^{\frac{1}{t}}(-t^{2}x^{2}+1)dx=\frac{2}{3t}$이므로$\displaystyle A(t)=\frac{2}{3t}-B(t)$이고,$\displaystyle B(t)=\int_{0}^{p(t)}(2\tan t)x\ dx+\int_{p(t)}^{\frac{1}{t}}(-t^{2}x^{2}+1)dx=(p(t))^{2}\tan t+\frac{t^{2}(p(t))^{3}}{3}-p(t)+\frac{2}{3t}$이다.

따라서 $\displaystyle t>0$일 때,$\displaystyle \frac{A(t)}{B(t)}=\frac{\frac{2}{3t}}{(p(t))^{2}\tan t+\frac{t^{2}(p(t))^{3}}{3}-p(t)+\frac{2}{3t}}-1=\frac{2}{3(tp(t))^{2}\frac{\tan t}{t}+(tp(t))^{3}-3tp(t)+2}-1$이고 $\displaystyle \lim_{t\to0+}tp(t)=\sqrt{2}-1$, $\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{\tan t}{t}=1$이므로$\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{A(t)}{B(t)}=\frac{2}{3(\sqrt{2}-1)^{2}\cdot1+(\sqrt{2}-1)^{3}-3(\sqrt{2}-1)+2}-1=\frac{8\sqrt{2}-3}{17}$이다.