자연계열 4번

로그함수가 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가함수이므로 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 2\le(2n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$가 성립함을 보이면 충분하다.구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 함수$\displaystyle f(x)=(2x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$라 하자.

그러면$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}(2x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to\infty}2\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}+\lim_{x\to\infty}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=2$이다.구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 미분가능하고$\displaystyle f^{\prime}(x)=2\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{2x+1}{x^{2}+x}$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=0$이다.

구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{(x^{2}+x)^{2}}>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가함수이다.따라서 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le\lim_{t\to\infty}f^{\prime}(t)=0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 감소함수이다.

그러므로 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle f(n)\ge\lim_{x\to\infty}f(x)=2$이다.