자연계열 2번

자연수 $\displaystyle n$에 대해서 $\displaystyle \log_{2}n\ge0$이므로$\displaystyle f(x)\ge4(\log_{2}n)(-1)+(\log_{2}n)^{2}-12=(\log_{2}n-2)^{2}-16>-17$이다.

따라서 $\displaystyle |x|>2n\pi$에서 두 함수 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 만나지 않고, $\displaystyle |x|\le2n\pi$에서 방정식 $\displaystyle f(x)=g(x)$를 정리하면$\displaystyle \left(\cos x+2+\frac{\log_{2}n}{2}\right)\left(\cos x-2+\frac{\log_{2}n}{2}\right)=0$이다.자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle -2-\frac{1}{2}\log_{2}n\le-2$이고 $\displaystyle -1\le\cos x\le1$이므로,$\displaystyle \cos x=2-\frac{1}{2}\log_{2}n$이다.

위 방정식은 $\displaystyle 4\le n\le64$일 때에만 해를 가지므로, $\displaystyle 1\le n\le3$ 또는 $\displaystyle n\ge65$이면 $\displaystyle a_{n}=0$이고 $\displaystyle 4\le n\le64$이면 $\displaystyle a_{n}$은 다음과 같다.(i) $\displaystyle n=4$일 때, $\displaystyle |x|\le8\pi$에서 방정식 $\displaystyle \cos x=1$의 해의 개수는 $\displaystyle 9$이므로, $\displaystyle a_{4}=9$이다.(ii) $\displaystyle 5\le n\le63$일 때, $\displaystyle |x|\le2n\pi$에서 방정식 $\displaystyle \cos x=2-\frac{1}{2}\log_{2}n$의 해의 개수는 $\displaystyle 4n$이므로, $\displaystyle a_{n}=4n$이다.(iii) $\displaystyle n=64$일 때, $\displaystyle |x|\le128\pi$에서 방정식 $\displaystyle \cos x=-1$의 해의 개수는 $\displaystyle 128$이므로, $\displaystyle a_{64}=128$이다.

그러므로$\displaystyle \sum_{k=1}^{2022}a_{k}=9+\sum_{k=5}^{63}4k+128=8161$이다.