자연계열 3번

(a) 첫 번째로 2개의 화살표를 선택하여 방향을 바꾼 후에 8개의 화살표 중 위로 향하는 화살표의 개수를 $\displaystyle X_{1}$이라 하고, 시행을 마친 후에 8개의 화살표 중 위로 향하는 화살표의 개수를 $\displaystyle X_{2}$라 하자.그러면 $\displaystyle A$는 $\displaystyle X_{2}=4$인 사건이다.사건 $\displaystyle A$가 일어났을 때, $\displaystyle X_{1}$이 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 2$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 6$ 이다.

따라서$\displaystyle \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(X_{2}=4)=\sum_{k=1}^{3}\mathrm{P}(X_{1}=2k)\mathrm{P}(X_{2}=4\,|\,X_{1}=2k)$이다.또한$\displaystyle \mathrm{P}(X_{1}=2)=\mathrm{P}(X_{1}=6)=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{{}_{8}\mathrm{C}_{2}}=\frac{3}{14}$$\displaystyle \mathrm{P}(X_{1}=4)=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\times{}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{2}}=\frac{8}{14}$이며$\displaystyle \mathrm{P}(X_{2}=4|X_{1}=2)=\mathrm{P}(X_{2}=4|X_{1}=6)=\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{{}_{8}\mathrm{C}_{2}}=\frac{15}{28}$$\displaystyle \mathrm{P}(X_{2}=4|X_{1}=4)=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\times{}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{2}}=\frac{16}{28}$이다.따라서$\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{3}{14}\frac{15}{28}+\frac{8}{14}\frac{16}{28}+\frac{3}{14}\frac{15}{28}=\frac{109}{196}$이다.

(b) 사건 $\displaystyle A\cap B$가 일어나기 위해서는 7, 8번째 화살표가 각각 단 한 번씩 선택되어야 하며 1~4번째 화살표 중 두 개가 선택되어야 한다.첫 번째 선택에서 7, 8번째 화살표가 선택되어 사건 $\displaystyle A\cap B$가 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}$이다.마찬가지로 두 번째 선택에서 7, 8번째 화살표가 선택되어 사건 $\displaystyle A\cap B$가 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}$이다.그리고 첫 번째 선택에서 7번째 화살표가 선택되고, 두 번째 선택에서 8번째 화살표가 선택되어 사건 $\displaystyle A\cap B$가 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1}\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}$이고 그 반대의 경우의 수도 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1}\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}$이다.따라서$\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\frac{2\times{}_{4}\mathrm{C}_{2}+2\times{}_{4}\mathrm{C}_{1}\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{2}\times{}_{8}\mathrm{C}_{2}}=\frac{9}{196}$ 이고

(a)에서 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{109}{196}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{9}{109}$이다.