자연계열 1번

점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 제1사분면에 있고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}_{2}}>\overline{\mathrm{PF}_{1}}$이므로두 초점은 $\displaystyle \mathrm{F}_{1}(5,0)$, $\displaystyle \mathrm{F}_{2}(-5,0)$이다.쌍곡선의 정의에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}_{2}}-\overline{\mathrm{PF}_{1}}=6$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{PF}_{2}}:\overline{\mathrm{PF}_{1}}=29:11$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{PF}_{1}}=\frac{11}{3}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}_{2}}=\frac{29}{3}$이다.점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}20x&=(x+5)^{2}+y^{2}-\{(x-5)^{2}+y^{2}\}\\&=\overline{\mathrm{PF}_{2}}^{2}-\overline{\mathrm{PF}_{1}}^{2}\\&=\left(\frac{29}{3}\right)^{2}-\left(\frac{11}{3}\right)^{2}=80\end{aligned}$이므로 $\displaystyle x=4$이다.쌍곡선의 방정식에 대입하면 $\displaystyle \frac{16}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$이고,$\displaystyle y>0$이므로 $\displaystyle y=\frac{4\sqrt{7}}{3}$이다.따라서 $\displaystyle \mathrm{P}\left(4,\frac{4\sqrt{7}}{3}\right)$이다.

세 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{F}_{1}$, $\displaystyle \mathrm{F}_{2}$를 지나는 이차함수를 $\displaystyle f(x)$라 하면$\displaystyle f(-5)=f(5)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=a(x^{2}-25)$로 나타낼 수 있다.$\displaystyle f(4)=\frac{4\sqrt{7}}{3}$에서 $\displaystyle -9a=\frac{4\sqrt{7}}{3}$이므로$\displaystyle f(x)=-\frac{4\sqrt{7}}{27}(x^{2}-25)$이다.

선분 $\displaystyle \mathrm{PF}_{2}$를 포함하는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=\ell(x)$라 하면$\displaystyle f(x)-\ell(x)$는 $\displaystyle x=-5$, $\displaystyle x=4$에서 $\displaystyle 0$이 되고,최고차항의 계수가 $\displaystyle -\frac{4\sqrt{7}}{27}$이므로$\displaystyle f(x)-\ell(x)=\frac{4\sqrt{7}}{27}(x+5)(4-x)$이다.$\displaystyle -5\le x\le4$에서 $\displaystyle f(x)-\ell(x)\ge0$이므로구하는 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-5}^{4}\{f(x)-\ell(x)\}\,dx&=\frac{4\sqrt{7}}{27}\int_{-5}^{4}(x+5)(4-x)\,dx\\&=\frac{4\sqrt{7}}{27}\Biggl[\frac{9}{2}(x+5)^{2}-\frac{1}{3}(x+5)^{3}\Biggr]_{-5}^{4}\\&=\frac{4\sqrt{7}}{27}\cdot\frac{9^{3}}{6}=18\sqrt{7}\end{aligned}$이다.