자연계열 2번

(a) 사건 $\displaystyle A$가 일어나려면 흰 공을 $\displaystyle 5$회, 빨간 공과 파란 공을 각각 $\displaystyle 1$회 뽑아야 한다.이러한 색 배열의 수는$\displaystyle \frac{7!}{5!1!1!}=42$이다.

어느 배열이든 분모는 매 시행의 전체 공의 수이고,흰 공을 뽑을 때의 분자는 차례로 $\displaystyle 2,3,4,5,6$이다.빨간 공과 파란 공을 뽑을 때의 분자는 각각 $\displaystyle 1$이므로,각 배열의 확률은$\displaystyle \frac{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot1\cdot1}{4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}=\frac{1}{840}$으로 같다.

따라서$\displaystyle \mathrm{P}(A)=42\times\frac{1}{840}=\frac{1}{20}$이다.

(b) 원점에서 출발하여 흰 공을 뽑으면 오른쪽 위로 한 칸,빨간 공이나 파란 공을 뽑으면 오른쪽 아래로 한 칸 이동하자.처음에는 흰 공과 나머지 공이 각각 $\displaystyle 2$개이므로,경로의 높이는 흰 공의 개수에서 나머지 공의 개수를 뺀 값이다.사건 $\displaystyle A$가 일어나면 위로 $\displaystyle 5$번, 아래로 $\displaystyle 2$번 이동하여 $\displaystyle (7,3)$에 도착한다.따라서 구하는 조건은 이 경로가 한 번도 $\displaystyle x$축 아래로 내려가지 않는 것이다.

전체 경로의 수는 아래로 이동할 두 자리를 고르는$\displaystyle {}_{7}\mathrm{C}_{2}=21$이다.이 중 조건을 어기는 경로에서 처음 높이 $\displaystyle -1$에 도달할 때까지위와 아래의 방향을 서로 바꾸자.그 구간에는 아래로 가는 횟수가 한 번 더 많으므로,바꾼 경로는 위로 $\displaystyle 6$번, 아래로 $\displaystyle 1$번 이동하여 $\displaystyle (7,5)$에 도착한다.

반대로 $\displaystyle (7,5)$에 도착하는 경로에서 처음 높이 $\displaystyle 1$에 도달할 때까지 방향을 바꾸면원래 경로가 복원된다.따라서 조건을 어기는 경로와 위로 $\displaystyle 6$번, 아래로 $\displaystyle 1$번 가는 경로는 일대일로 대응한다.조건을 만족하는 경로의 수는$\displaystyle {}_{7}\mathrm{C}_{2}-{}_{7}\mathrm{C}_{1}=21-7=14$이다.

각 경로에서 아래로 가는 두 자리에 빨간 공과 파란 공을 배정하는 방법은 $\displaystyle 2$가지이다.(a)에서 각 색 배열의 확률이 같음을 확인했으므로,구하는 조건부 확률은$\displaystyle \frac{14\times2}{21\times2}=\frac{2}{3}$이다.