자연계열 4번

원주각의 성질로부터 $\displaystyle \angle\mathrm{PAB}=\angle\mathrm{PQB}$, $\displaystyle \angle\mathrm{QBA}=\angle\mathrm{QPA}$이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{BAR}$과 $\displaystyle \triangle\mathrm{PQR}$은 서로 닮았고, 이때 닮음비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{BR}}:\overline{\mathrm{RP}}$이다.$\displaystyle \triangle\mathrm{BAR}$의 내접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle s(\theta)$라고 하면, $\displaystyle \triangle\mathrm{BAR}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{s(\theta)}{2}(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BR}}+\overline{\mathrm{RA}})$이고 $\displaystyle \triangle\mathrm{PQR}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{r(\theta)}{2}(\overline{\mathrm{QR}}+\overline{\mathrm{RP}}+\overline{\mathrm{PQ}})$이므로,$\displaystyle \frac{s(\theta)}{2}(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BR}}+\overline{\mathrm{RA}})\ :\ \frac{r(\theta)}{2}(\overline{\mathrm{QR}}+\overline{\mathrm{RP}}+\overline{\mathrm{PQ}})=\overline{\mathrm{BR}}^{2}\ :\ \overline{\mathrm{RP}}^{2}$이다.즉 $\displaystyle r(\theta)=s(\theta)\frac{\overline{\mathrm{RP}}}{\overline{\mathrm{BR}}}$이다.

$\displaystyle \triangle\mathrm{BAR}$에서 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{2}{\sin(\pi-4\theta)}=\frac{\overline{\mathrm{RA}}}{\sin3\theta}=\frac{\overline{\mathrm{BR}}}{\sin\theta}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{RA}}=\frac{2\sin3\theta}{\sin4\theta}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BR}}=\frac{2\sin\theta}{\sin4\theta}$이다.$\displaystyle \triangle\mathrm{BAR}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{s(\theta)}{2}(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BR}}+\overline{\mathrm{RA}})=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\ \overline{\mathrm{RA}}\sin\theta$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2$이므로 $\displaystyle s(\theta)=\frac{2\sin3\theta\sin\theta}{\sin4\theta+\sin\theta+\sin3\theta}$이다.그리고 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABP}$는 $\displaystyle \angle\mathrm{APB}$가 직각인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=2\cos\theta$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{RP}}=\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{RA}}=2\cos\theta-\frac{2\sin3\theta}{\sin4\theta}$이다.

따라서$\displaystyle r(\theta)=s(\theta)\frac{\overline{\mathrm{RP}}}{\overline{\mathrm{BR}}}=\frac{2\sin3\theta\sin\theta}{\sin4\theta+\sin\theta+\sin3\theta}\cdot\left(2\cos\theta-\frac{2\sin3\theta}{\sin4\theta}\right)\cdot\frac{\sin4\theta}{2\sin\theta}$ 이므로

$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{r(\theta)}{\theta}=\lim_{\theta\to0+}\left(2\cdot\frac{\sin3\theta}{\theta}\cdot\frac{1}{\frac{\sin4\theta}{\sin\theta}+1+\frac{\sin3\theta}{\sin\theta}}\cdot\left(2\cos\theta-\frac{2\sin3\theta}{\sin4\theta}\right)\cdot\frac{\sin4\theta}{2\sin\theta}\right)=\frac{3}{4}$이다.