자연계열 3번

조건 (1)과 (2)에 $\displaystyle x=0$을 대입하여 정리하면 $\displaystyle f(0)=0$이고 $\displaystyle g(0)=1$이다.

부분적분법에 의해 $\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t}f(t)\,dt=e^{x}f(x)-\int_{0}^{x}e^{t}f^{\prime}(t)\,dt$이므로 조건 (1)과 (2)에 의해$\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t}f^{\prime}(t)\,dt=\frac{e^{x}\{f(x)+g(x)\}-1}{2}=\int_{0}^{x}e^{t}g(t)\,dt$이다.모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t}\{f^{\prime}(t)-g(t)\}\,dt=0$이므로 정적분과 미분의 관계에 의해 $\displaystyle e^{x}\{f^{\prime}(x)-g(x)\}=0$이다.따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f^{\prime}(x)=g(x)$이다.마찬가지로 $\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t}g(t)\,dt=\{e^{x}g(x)-1\}-\int_{0}^{x}e^{t}g^{\prime}(t)\,dt$이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle g^{\prime}(x)=-f(x)$이다.

함수 $\displaystyle h(x)=\{f(x)\}^{2}+\{g(x)\}^{2}$라 하면, $\displaystyle h(x)$는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 미분가능하고$\displaystyle h^{\prime}(x)=2f^{\prime}(x)f(x)+2g^{\prime}(x)g(x)=2g(x)f(x)-2f(x)g(x)=0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 상수함수이다.

$\displaystyle f(0)=0$이고 $\displaystyle g(0)=1$이므로$\displaystyle h(0)=\{f(0)\}^{2}+\{g(0)\}^{2}=1$이다.따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해$\displaystyle \{f(x)\}^{2}+\{g(x)\}^{2}=h(x)=h(0)=1$이고$\displaystyle \{f(1)\}^{2}+\{g(1)\}^{2}=1$이다.