자연계열 1번

$\displaystyle y=x^{4}-2x^{2}+1$과 $\displaystyle y=-x^{2}+x+2$를 연립하면 $\displaystyle x^{4}-x^{2}-x-1=(x+1)(x^{3}-x^{2}-1)=0$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle (-1,0)$이다. 또한$\displaystyle f(x)=x^{3}-x^{2}-1$라 두면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^{2}-2x$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극댓값 $\displaystyle -1$을 가지므로 $\displaystyle f(x)=0$은 단 하나의 실근을 가진다. 그 실근을 $\displaystyle a$라 하면 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle (a,-a^{2}+a+2)$이다.

$\displaystyle y=x^{4}-2x^{2}+1$과 $\displaystyle y=-x^{2}+x+2$의 그래프로부터 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 1<a<2$이다.

한편, 주어진 내적은$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PA}}=(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})=(a+1,-a^{2}+a+2)\cdot(1,-1)=a^{2}-1$이다.

따라서 $\displaystyle 0<\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PA}}<3$이고 구하는 정수 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ 중 하나이다. $\displaystyle f(\sqrt{2})=2\sqrt{2}-3=\sqrt{8}-\sqrt{9}<0$이고 $\displaystyle f(\sqrt{3})=3\sqrt{3}-4=\sqrt{27}-\sqrt{16}>0$이므로 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle \sqrt{2}<a<\sqrt{3}$이다. 따라서 $\displaystyle 1\le\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PA}}<2$이고 $\displaystyle k=1$이다.