자연계열 2번

(a) 세 사람이 산 사과의 수를 각각 $\displaystyle x_{1}$, $\displaystyle y_{1}$, $\displaystyle z_{1}$,배의 수를 각각 $\displaystyle x_{2}$, $\displaystyle y_{2}$, $\displaystyle z_{2}$라 하면,구하는 경우의 수는$\displaystyle x_{1}+y_{1}+z_{1}+x_{2}+y_{2}+z_{2}=11$의 음이 아닌 정수해의 개수이다.

따라서 중복조합을 이용하면 구하는 경우의 수는$\displaystyle {}_{6}\mathrm{H}_{11}={}_{16}\mathrm{C}_{11}={}_{16}\mathrm{C}_{5}=4368$이다.

(b) $\displaystyle x+y+z=11$이므로 세 사람이 산 과일의 수가 모두 같을 수는 없다.세 수가 모두 다르면 대소 순서가 $\displaystyle 3!=6$가지이고,사람의 이름을 바꾸는 대칭성에 의해 각 순서에 해당하는 구매 방법의 수가 같다.따라서 그중 $\displaystyle x<y<z$를 만족시키는 경우는 $\displaystyle \frac{1}{6}$이다.두 수만 같으면 같은 두 수가 작은 경우와 큰 경우 각각 대소 순서가 $\displaystyle 3$가지이고,같은 대칭성에 의해 그중 $\displaystyle x\le y\le z$를 만족시키는 경우는 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다.

먼저 $\displaystyle x=y=m$인 경우를 세면 $\displaystyle z=11-2m$이고 $\displaystyle m=0,1,2,3,4,5$이다.과일을 $\displaystyle k$개 사는 방법은 사과를 $\displaystyle 0$개부터 $\displaystyle k$개까지 고르는 $\displaystyle k+1$가지이므로,각 경우의 구매 방법은 $\displaystyle (m+1)^{2}(12-2m)$가지이다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|r} m & (x,y,z) & \text{구매 방법의 수} \\ \hline 0 & (0,0,11) & 12 \\ 1 & (1,1,9) & 40 \\ 2 & (2,2,7) & 72 \\ 3 & (3,3,5) & 96 \\ 4 & (4,4,3) & 100 \\ 5 & (5,5,1) & 72 \\ \hline & \text{합계} & 392 \end{array}$

과일 수가 같은 두 사람을 고르는 방법은 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3$가지이므로,두 사람의 과일 수가 같은 경우는 모두 $\displaystyle 3\times392$가지이다.따라서 구하는 경우의 수는$\displaystyle \frac{4368-3\times392}{6}+\frac{3\times392}{3}=532+392=924$이다.