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자연계열 4번

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서울시립대 2024학년도 수시 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/uos/2024su/jayeon_4

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문제

[문제 4] (총 115점)

2\displaystyle 2 이상의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 점 Ak\displaystyle \mathrm{A}_{k}의 좌표를 (cos⁡(k−1nπ), sin⁡(k−1nπ))\displaystyle \left(\cos\left(\dfrac{k-1}{n}\pi\right),\ \sin\left(\dfrac{k-1}{n}\pi\right)\right)라 하자.(단, k=1,2,⋯ ,2n\displaystyle k=1,2,\cdots,2n)점 A1\displaystyle \mathrm{A}_{1}, A2\displaystyle \mathrm{A}_{2}, ⋯\displaystyle \cdots, A2n\displaystyle \mathrm{A}_{2n}을 꼭짓점으로 하는 정2n\displaystyle 2n각형의 변 위를 두 점 P\displaystyle \mathrm{P}, Q\displaystyle \mathrm{Q}가 시계 반대 방향으로 움직인다.두 점 P\displaystyle \mathrm{P}, Q\displaystyle \mathrm{Q}가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) 두 점 P\displaystyle \mathrm{P}, Q\displaystyle \mathrm{Q}는 시각 t=0\displaystyle t=0일 때 점 A1(1,0)\displaystyle \mathrm{A}_{1}(1,0)을 출발하여 정2n\displaystyle 2n각형을 한 바퀴 돌아 점 A1\displaystyle \mathrm{A}_{1}에 동시에 도착한다.(2) 점 P\displaystyle \mathrm{P}는 변 AkAk+1\displaystyle \mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1} 위를 속력 2−k2n\displaystyle \sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}로 움직이고, 변 A2nA1\displaystyle \mathrm{A}_{2n}\mathrm{A}_{1} 위를 속력 1\displaystyle 1로 움직인다. (단, k=1,2,⋯ ,2n−1\displaystyle k=1,2,\cdots,2n-1)(3) 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 속력은 일정하다.

(a) 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 출발한 후 점 A1\displaystyle \mathrm{A}_{1}에 처음으로 도착하는 시각을 bn\displaystyle b_{n}이라 할 때, lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}의 값을 구하여라. (50점)

(b) 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 출발한 후 점 An+1(−1,0)\displaystyle \mathrm{A}_{n+1}(-1,0)에 처음으로 도착하는 시각을 cn\displaystyle c_{n}이라 하자. 시각 t=0\displaystyle t=0에서 t=cn\displaystyle t=c_{n}까지 점 P\displaystyle \mathrm{P}와 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 움직인 거리의 차를 dn\displaystyle d_{n}이라 할 때, lim⁡n→∞dn\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_{n}의 값을 구하여라. (65점)

해설강의 준비중

서울시립대 2024학년도 수시 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/uos/2024su/jayeon_4

+20점 · bn\displaystyle b_{n}을 구한다.

(a) 정2n\displaystyle 2n각형의 한 변의 길이를 ln\displaystyle l_{n}이라 하자. 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 k\displaystyle k번째 변 위를 움직이는 데 걸리는 시간은 ln2−k2n\displaystyle \dfrac{l_{n}}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}이므로 bn=∑k=12nln2−k2n\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{l_{n}}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}이다.

+30점 · 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용해 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}을 구한다.

따라서lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞∑k=12nln2−k2n=lim⁡n→∞(2nln∑k=12n12−k2n12n)\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{l_{n}}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}=\lim_{n\to\infty}\left(2nl_{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}\frac{1}{2n}\right)이다. 한편, ln=2sin⁡(π2n)\displaystyle l_{n}=2\sin\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)이므로 lim⁡n→∞2nln=lim⁡n→∞2πsin⁡(π2n)π2n=2π\displaystyle \lim_{n\to\infty}2nl_{n}=\lim_{n\to\infty}2\pi\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)}{\dfrac{\pi}{2n}}=2\pi이다. 또한 정적분과 급수의 합 사이의 관계로부터lim⁡n→∞∑k=12n12−k2n12n=∫0112−x dx=2(2−1)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}\frac{1}{2n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=2(\sqrt{2}-1)이다. 따라서 lim⁡n→∞bn=4(2−1)π\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=4(\sqrt{2}-1)\pi이다.

+25점 · dn\displaystyle d_{n}을 구한다.

(b) 시각 t=cn\displaystyle t=c_{n}까지 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 움직인 거리는 nln\displaystyle nl_{n}이다. 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 속력은 2nlnbn\displaystyle \dfrac{2nl_{n}}{b_{n}}이므로, 시각 t=cn\displaystyle t=c_{n}까지 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 움직인 거리는 2nlncnbn\displaystyle \dfrac{2nl_{n}c_{n}}{b_{n}}이다. 따라서 dn=nln−2nlncnbn\displaystyle d_{n}=nl_{n}-\dfrac{2nl_{n}c_{n}}{b_{n}}이다.

+30점 · 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용해 lim⁡n→∞cn\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}을 구한다.

한편 (a)에서 lim⁡n→∞2nln=2π\displaystyle \lim_{n\to\infty}2nl_{n}=2\pi이고, lim⁡n→∞bn=4(2−1)π\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=4(\sqrt{2}-1)\pi이다. 정적분과 급수의 합 사이의 관계로부터lim⁡n→∞cn=lim⁡n→∞∑k=1nln2−k2n=lim⁡n→∞nln∑k=1n12−k2n1n=π∫0112−x2 dx=2(22−6)π\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{l_{n}}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}=\lim_{n\to\infty}nl_{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}\frac{1}{n}=\pi\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2-\dfrac{x}{2}}}\,dx=2(2\sqrt{2}-\sqrt{6})\pi이다.

+10점 · lim⁡n→∞dn\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_{n}을 구한다.

따라서lim⁡n→∞dn=π−4(22−6)π24(2−1)π=π−(22−6)π2−1=6−1−22−1π=(6+23−22−3)π\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_{n}=\pi-\frac{4(2\sqrt{2}-\sqrt{6})\pi^{2}}{4(\sqrt{2}-1)\pi}=\pi-\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{6})\pi}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{6}-1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\pi=(\sqrt{6}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3)\pi이다.

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