자연계열 4번

(a) 정$\displaystyle 2n$각형의 한 변의 길이를 $\displaystyle l_{n}$이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle k$번째 변 위를 움직이는 데 걸리는 시간은 $\displaystyle \dfrac{l_{n}}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}$이므로 $\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{l_{n}}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{l_{n}}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}=\lim_{n\to\infty}\left(2nl_{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}\frac{1}{2n}\right)$이다. 한편, $\displaystyle l_{n}=2\sin\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}2nl_{n}=\lim_{n\to\infty}2\pi\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)}{\dfrac{\pi}{2n}}=2\pi$이다. 또한 정적분과 급수의 합 사이의 관계로부터$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}\frac{1}{2n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=2(\sqrt{2}-1)$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=4(\sqrt{2}-1)\pi$이다.

(b) 시각 $\displaystyle t=c_{n}$까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 움직인 거리는 $\displaystyle nl_{n}$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 속력은 $\displaystyle \dfrac{2nl_{n}}{b_{n}}$이므로, 시각 $\displaystyle t=c_{n}$까지 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \dfrac{2nl_{n}c_{n}}{b_{n}}$이다. 따라서 $\displaystyle d_{n}=nl_{n}-\dfrac{2nl_{n}c_{n}}{b_{n}}$이다.

한편 (a)에서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}2nl_{n}=2\pi$이고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=4(\sqrt{2}-1)\pi$이다. 정적분과 급수의 합 사이의 관계로부터$\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{l_{n}}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}=\lim_{n\to\infty}nl_{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2-\dfrac{k}{2n}}}\frac{1}{n}=\pi\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2-\dfrac{x}{2}}}\,dx=2(2\sqrt{2}-\sqrt{6})\pi$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_{n}=\pi-\frac{4(2\sqrt{2}-\sqrt{6})\pi^{2}}{4(\sqrt{2}-1)\pi}=\pi-\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{6})\pi}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{6}-1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\pi=(\sqrt{6}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3)\pi$이다.