자연계열 3번

주어진 조건으로부터 $\displaystyle x\ge2n$일 때, $\displaystyle \dfrac{-(x-2)}{x}\le\dfrac{ax+b}{x}\le\dfrac{(x-2n)+5}{x}$이다. 함수의 극한의 대소관계에 따라$\displaystyle -1=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{-(x-2)}{x}\right)\le a=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{ax+b}{x}\right)\le\lim_{x\to\infty}\left(\frac{(x-2n)+5}{x}\right)=1$이므로 $\displaystyle -1\le a\le1$이다. 즉 가능한 정수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle -1$, $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$뿐이다.

(i) $\displaystyle a=0$인 경우함수 $\displaystyle y=-|x-2|$의 최댓값은 $\displaystyle 0$이고, 함수 $\displaystyle y=|x-2n|+5$의 최솟값은 $\displaystyle 5$이므로, $\displaystyle 0\le b\le5$이다. 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle -|x-2|\le b\le|x-2n|+5$가 성립하는 정수 $\displaystyle b$의 개수는 $\displaystyle 6$이다.

(ii) $\displaystyle a=-1$인 경우모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x-|x-2|\le b\le x+|x-2n|+5$를 만족시키는 정수 $\displaystyle b$를 찾자. $\displaystyle x\ge2$이면 $\displaystyle x-|x-2|=2$이고, $\displaystyle x<2$이면 $\displaystyle x-|x-2|=2x-2$이므로, 함수 $\displaystyle y=x-|x-2|$의 최댓값은 $\displaystyle 2$이다. 마찬가지로, $\displaystyle x\ge2n$인 경우와 $\displaystyle x<2n$인 경우로 나누어서 생각하면, 함수 $\displaystyle y=x+|x-2n|+5$의 최솟값은 $\displaystyle 2n+5$이다. 따라서, $\displaystyle 2\le b\le2n+5$이고 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x-|x-2|\le b\le x+|x-2n|+5$를 만족시키는 정수 $\displaystyle b$의 개수는 $\displaystyle 2n+4$이다.

(iii) $\displaystyle a=1$인 경우$\displaystyle a=-1$인 경우와 마찬가지로, 함수 $\displaystyle y=-x-|x-2|$의 최댓값은 $\displaystyle -2$이고, 함수 $\displaystyle y=-x+|x-2n|+5$의 최솟값은 $\displaystyle 5-2n$이다. 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle -x-|x-2|\le b\le-x+|x-2n|+5$를 만족시키는 정수 $\displaystyle b$의 개수를 $\displaystyle n$의 값에 따라 구해보면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|cccc} & n=1 & n=2 & n=3 & n\ge4 \\ \hline \text{정수 }b\text{의 개수} & 6 & 4 & 2 & 0 \end{array}$

그러므로$\displaystyle \sum_{n=1}^{100}A_{n}=\sum_{n=1}^{100}6+\sum_{n=1}^{100}(2n+4)+(6+4+2)=11112$이다.