자연계열 1번

$\displaystyle z=t\ (0 \leq t \leq b)$인 평면과 사면체가 만나서 이루어지는 단면은$\displaystyle z=0$인 꼭짓점과 $\displaystyle z=a$인 꼭짓점을 $\displaystyle t:(a-t)$로 내분하는 점들로 이루어져 있다.네 모서리 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}$ 위에 있는 이 점들을 차례로 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$, $\displaystyle \mathrm{R}$, $\displaystyle \mathrm{S}$라 하자.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$는 $\displaystyle xy$평면 위에 있고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$는 $\displaystyle xy$평면과 평행하므로두 선분을 $\displaystyle xy$평면 위로 정사영시켜도 이루는 각은 변하지 않는다.

$\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$의 정사영 $\displaystyle (0,\,0)$, $\displaystyle (a,\,a)$와 $\displaystyle \mathrm{C}$, $\displaystyle \mathrm{D}$의 정사영 $\displaystyle \left(\frac{3a}{4},\ \frac{a}{4}\right)$, $\displaystyle \left(\frac{a}{4},\ \frac{3a}{4}\right)$는네 점 $\displaystyle (0,\,0)$, $\displaystyle (a,\,0)$, $\displaystyle (a,\,a)$, $\displaystyle (0,\,a)$를 꼭짓점으로 하는 정사각형의 서로 다른 두 대각선 위에 있고,정사각형의 두 대각선은 서로 수직이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} \perp \overline{\mathrm{CD}}$이다.

두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$는 각각 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}$를 $\displaystyle t:(a-t)$로 내분하므로두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APQ}$와 $\displaystyle \mathrm{ACD}$는 닮음비가 $\displaystyle t:a$인 닮음이고,두 점 $\displaystyle \mathrm{R}$, $\displaystyle \mathrm{S}$는 각각 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}$를 $\displaystyle t:(a-t)$로 내분하므로두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BRS}$와 $\displaystyle \mathrm{BCD}$도 닮음비가 $\displaystyle t:a$인 닮음이다.

같은 방법으로 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CPR}$와 $\displaystyle \mathrm{CAB}$, 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{DQS}$와 $\displaystyle \mathrm{DAB}$는닮음비가 $\displaystyle (a-t):a$인 닮음이다.

즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{RS}}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$와 평행하고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{QS}}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$와 평행하다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} \perp \overline{\mathrm{CD}}$이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{PQSR}$의 이웃한 두 변은 서로 수직이고,따라서 단면은 직사각형이다.

두 모서리의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{2}\,a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$이므로닮음비에 의하여 이 직사각형 변의 길이는 다음과 같다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{RS}}=\frac{t}{a}\,\overline{\mathrm{CD}}=\frac{t}{\sqrt{2}},\ \ \overline{\mathrm{PR}}=\overline{\mathrm{QS}}=\frac{a-t}{a}\,\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{2}\,(a-t)$

따라서 높이 $\displaystyle z=t$에서 단면의 면적은 $\displaystyle t(a-t)$이다.

정적분의 원리에 의하여 원하는 부분의 부피는 다음과 같다.$\displaystyle \int_{0}^{b}t(a-t)\,dt=\left.\frac{at^{2}}{2}-\frac{t^{3}}{3}\,\right|_{0}^{b}=\frac{ab^{2}}{2}-\frac{b^{3}}{3}$