자연계열 2번

비밀번호에 쓰이는 홀수 중 $\displaystyle 1$을 제외한 두 수를 고르는 방법은 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$가지이다.

첫 자리를 $\displaystyle 1$로 고정하면, 나머지 $\displaystyle n-1$자리에는 선택한 세 숫자를 쓰되 나머지 두 숫자가 각각 한 번 이상 나와야 한다.따라서 가능한 비밀번호의 개수를 $\displaystyle N$이라 하면$\displaystyle N={}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(3^{n-1}-2\cdot2^{n-1}+1\right)$이다.

서로 다른 비밀번호를 세 번 시도하는 것은 $\displaystyle N$개의 후보 중 세 개를 고르는 것과 같다.구하는 확률은$\displaystyle \frac{3}{N}=\frac{1}{2\cdot3^{n-1}-2^{n+1}+2}$이다.