자연계열 3번

위 그림과 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$가 주어진 원과 만나는 제 $\displaystyle 2$사분면 점을 $\displaystyle \mathrm{T}$, $\displaystyle \angle\mathrm{TOQ}=\alpha$라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$라 하자.그러면 $\displaystyle \angle\mathrm{PTO}=\angle\mathrm{OPT}=\theta+\alpha$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{POH}=2\theta+\alpha$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\sin(2\theta+\alpha)$이다.

$\displaystyle S(\theta)=\triangle\mathrm{PQO}$의 넓이 $\displaystyle +$ 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OBP}$의 넓이$\displaystyle \begin{aligned} &=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{QO}}\times\overline{\mathrm{PH}}+\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{OB}}^{2}\times\angle\mathrm{POB} \\ &=\sin(2\theta+\alpha)+\theta+\frac{\alpha}{2} \\ &=\sin(2\theta)\cos\alpha+\cos(2\theta)\sin\alpha+\theta+\frac{\alpha}{2} \end{aligned}$이다.$\displaystyle \triangle\mathrm{TQO}$에 사인법칙을 적용하면 $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{QT}}}{\sin\alpha}=\dfrac{1}{\sin\theta}$을 얻으므로 $\displaystyle \sin\alpha=\overline{\mathrm{QT}}\times\sin\theta$이다.

$\displaystyle \frac{S(\theta)}{\theta}=\frac{\sin(2\theta)}{\theta}\times\cos\alpha+\cos(2\theta)\times\frac{\sin\alpha}{\theta}+1+\frac{\alpha}{2\theta}$이고,$\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\theta}=\frac{\overline{\mathrm{QT}}\times\sin\theta}{\theta}=\overline{\mathrm{QT}}\times\frac{\sin\theta}{\theta},\qquad \frac{\alpha}{\theta}=\frac{\alpha}{\sin\alpha}\times\frac{\sin\alpha}{\theta}=\frac{\alpha}{\sin\alpha}\times\overline{\mathrm{QT}}\times\frac{\sin\theta}{\theta}$이다.

한편 $\displaystyle \theta\to0+$이면, $\displaystyle \alpha\to0+$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{QT}}\to1$이므로,$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{S(\theta)}{\theta}=2+1+1+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$이다.