자연계열 4번

(a) $\displaystyle g(x)=20(a-1)x-(4+a)+(4+a)\cos x$라 하면, $\displaystyle \sin x\le1$이며 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수이므로$\displaystyle g^{\prime}(x)=20(a-1)-(4+a)\sin x\ge20(a-1)-(4+a)\ge19a-24\ge14$이 성립한다.$\displaystyle g(0)=0$이므로, $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle g(x)>0$이다.

(b) (i) $\displaystyle a=1$인 경우사인함수의 개형을 활용하면,$\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle \sin x<x$이고 $\displaystyle x<0$일 때, $\displaystyle \sin x>x\quad\cdots\ (1)$이 성립한다.자연수 $\displaystyle b$가 $\displaystyle 5$ 이하일 때,$\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle -b\sin x>-bx\ge-5x$이고$\displaystyle x<0$일 때, $\displaystyle -b\sin x<-bx\le-5x$이므로, 두 함수 $\displaystyle y=-b\sin x$와 $\displaystyle y=-5x$의 그래프의 교점은 원점뿐이다.따라서 자연수 $\displaystyle b$가 $\displaystyle 5$ 이하일 때 문제의 조건을 만족한다.한편 자연수 $\displaystyle b$가 $\displaystyle 6$ 이상일 때, $\displaystyle y=-b\sin x$의 $\displaystyle 0$에서의 기울기가 $\displaystyle -b$이므로 사인함수의 개형을 활용하면 교점이 세 개 이상임을 알 수 있다.그러므로 조건을 만족하는 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)$이다.

(ii) $\displaystyle a$가 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수인 경우$\displaystyle f(x)=10(a-1)x^{2}-(4+a)x+b\sin x$라 정의하면 두 함수 $\displaystyle y=-b\sin x$와 $\displaystyle y=10(a-1)x^{2}-(4+a)x$의 그래프의 교점의 개수는 $\displaystyle f(x)=0$의 해의 개수와 같다.한편, $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty$이다.그러므로 만약 $\displaystyle f(k)<0$인 $\displaystyle k$가 존재한다면 $\displaystyle f(x)$의 연속성에 의해 열린구간 $\displaystyle (-\infty,k)$와 $\displaystyle (k,\infty)$에서 $\displaystyle f(x)=0$의 해가 각각 존재한다.따라서 조건을 만족하는 $\displaystyle f(x)$는 항상 $\displaystyle 0$보다 크거나 같다.$\displaystyle f(0)=0$이므로, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극소이고 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이다.이를 활용하면 $\displaystyle b=4+a$를 얻을 수 있고, 따라서$\displaystyle f(x)=10(a-1)x^{2}+(4+a)(\sin x-x)$이다.

$\displaystyle x<0$일 때, (1)에 의해 $\displaystyle f(x)>0$이다.$\displaystyle x>0$일 때, 평균값 정리에 의해$\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(c)$인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle x$ 사이에 존재한다.(a)에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(c)=g(c)>0$이다.그러므로 $\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle f(x)>0$이다.따라서 조건을 만족하는 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (k,4+k)$이다.(단, $\displaystyle k$는 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수)

(i), (ii)에 의해 조건을 만족하는 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(k,4+k)$이다.(단, $\displaystyle k$는 $\displaystyle 2$이상의 자연수)