자연계열 1번

조건으로부터 $\displaystyle 0,\,a,\,a^{2}$은 $\displaystyle f(x)-x^{2}=0$을 만족하는 서로 다른 세 개의 근이고, $\displaystyle f(x)$의 최고차항이 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle f(x)-x^{2}=x(x-a)(x-a^{2})$이다.

$\displaystyle f(x)$의 최고차항이 양수이고 $\displaystyle 0<a<a^{2}$이므로 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=x^{2}$로 둘러싸인 두 영역의 넓이는 각각 $\displaystyle \int_{0}^{a}\{f(x)-x^{2}\}\,dx$와 $\displaystyle \int_{a}^{a^{2}}\{x^{2}-f(x)\}\,dx$이다.$\displaystyle \int_{0}^{a}\{f(x)-x^{2}\}\,dx=\int_{a}^{a^{2}}\{x^{2}-f(x)\}\,dx$이므로$\displaystyle \int_{0}^{a}\{f(x)-x^{2}\}\,dx+\int_{a}^{a^{2}}\{f(x)-x^{2}\}\,dx=\int_{0}^{a^{2}}\{f(x)-x^{2}\}\,dx=\int_{0}^{a^{2}}x(x-a)(x-a^{2})\,dx=0$이다.

이를 계산하면$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{a^{2}}x(x-a)(x-a^{2})\,dx &=\int_{0}^{a^{2}}\{x^{3}-(a+a^{2})x^{2}+a^{3}x\}\,dx=\Biggl[\frac{1}{4}x^{4}-\frac{(a+a^{2})}{3}x^{3}+\frac{a^{3}}{2}x^{2}\Biggr]_{0}^{a^{2}} \\ &=\left\{\frac{1}{4}a^{8}-\frac{(a+a^{2})}{3}a^{6}+\frac{1}{2}a^{7}\right\}=\frac{1}{12}(3a^{8}-4a^{7}-4a^{8}+6a^{7})=\frac{a^{7}(-a+2)}{12}=0 \end{aligned}$이다.따라서 $\displaystyle a=2$ 이고,

$\displaystyle f(x)=x(x-2)(x-4)+x^{2}=x^{3}-5x^{2}+8x$이다.