자연계열 2번

이 상자에서 임의로 $\displaystyle 3$장의 카드를 동시에 꺼냈을 때, 가능한 모든 경우의 수는$\displaystyle {}_{2^{n}}\mathrm{C}_{3}=\frac{2^{n}(2^{n}-1)(2^{n}-2)}{6}$이다.

한편, 꺼낸 카드 $\displaystyle 3$장에 적힌 세 숫자가 등비수열일 때 초항이 $\displaystyle a$이고 공비가 $\displaystyle 2^{k}$이면,세 숫자는 $\displaystyle a,\,2^{k}a,\,2^{2k}a$이다.상자 안의 카드에는 각각 $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle 2^{n}$까지의 자연수가 적혀 있으므로$\displaystyle a\ge1$이고 $\displaystyle 2^{2k}a\le2^{n}$, 즉, $\displaystyle 1\le a\le2^{n-2k}$이다.따라서 꺼낸 $\displaystyle 3$장의 카드에 적힌 세 숫자가 공비가 $\displaystyle 2^{k}$인 등비수열을 이루는 경우의 수는 $\displaystyle 2^{n-2k}$이다.

(i) $\displaystyle n$이 $\displaystyle 2$ 이상의 짝수인 경우$\displaystyle n$을 어떤 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle n=2m$으로 나타낼 수 있다.이때, $\displaystyle 2k\le n=2m$, 즉, $\displaystyle 1\le k\le m$이어야 한다.따라서 문제의 조건을 만족하는 경우의 수는$\displaystyle \sum_{k=1}^{m}2^{n-2k}=\sum_{k=1}^{m}2^{2m-2k}=\frac{4^{m}-1}{3}=\frac{2^{n}-1}{3}$이고, 구하는 확률은$\displaystyle \frac{\dfrac{2^{n}-1}{3}}{\dfrac{2^{n}(2^{n}-1)(2^{n}-2)}{6}}=\frac{2}{2^{n}(2^{n}-2)}=\frac{1}{2^{n}(2^{n-1}-1)}$이다.

(ii) $\displaystyle n$이 $\displaystyle 2$ 이상의 홀수인 경우$\displaystyle n$을 어떤 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle n=2m+1$로 나타낼 수 있다.이때, $\displaystyle 2k\le n=2m+1$, 즉, $\displaystyle 1\le k\le m+\frac{1}{2}$이어야 한다.따라서 문제의 조건을 만족하는 경우의 수는$\displaystyle \sum_{k=1}^{m}2^{n-2k}=\sum_{k=1}^{m}2^{2m+1-2k}=\frac{2(4^{m}-1)}{3}=\frac{2(2^{n-1}-1)}{3}$이고, 구하는 확률은$\displaystyle \frac{\dfrac{2(2^{n-1}-1)}{3}}{\dfrac{2^{n}(2^{n}-1)(2^{n}-2)}{6}}=\frac{4(2^{n-1}-1)}{2^{n}(2^{n}-1)(2^{n}-2)}=\frac{1}{2^{n-1}(2^{n}-1)}$이다.