자연계열 4번

장축의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, 단축의 길이를 $\displaystyle 2b$, 타원의 중심을 원점으로 하여 평면좌표를 도입하면 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$, $\displaystyle \mathrm{A}(0,\sqrt{3}-b)$, $\displaystyle \mathrm{B}(-1,-b)$, $\displaystyle \mathrm{C}(1,-b)$이고 타원의 방정식은 $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$이다.접점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표를 $\displaystyle (x_{1},y_{1})$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{Q}$에서의 접선의 방정식 $\displaystyle \dfrac{x_{1}x}{a^{2}}+\dfrac{y_{1}y}{b^{2}}=1$은 직선 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 방정식 $\displaystyle y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-b$와 일치한다.그러므로 $\displaystyle x_{1}=\dfrac{\sqrt{3}a^{2}}{\sqrt{3}-b}=\dfrac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-b)}$, $\displaystyle y_{1}=\dfrac{b^{2}}{\sqrt{3}-b}$이다.점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 타원 위의 점이므로 $\displaystyle \dfrac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$이다.따라서, $\displaystyle b=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$이다.이때, $\displaystyle x_{1}=\dfrac{2}{3}$, $\displaystyle y_{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}$이다.도형이 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \mathrm{P}\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{12}\right)$이다.

세 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{O}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$를 지나는 포물선의 방정식은 $\displaystyle y=\dfrac{3\sqrt{3}}{16}x^{2}$이다.

포물선 위에 있는 삼각형 내부의 넓이 $\displaystyle S$는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APQ}$의 넓이 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$과 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$와 포물선으로 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle \int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{2}{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{12}-\dfrac{3\sqrt{3}}{16}x^{2}\right)dx=\dfrac{2\sqrt{3}}{27}$의 합이다.그러므로 $\displaystyle S=\dfrac{14\sqrt{3}}{27}$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \sqrt{3}$이므로 포물선 아래에 있는 삼각형 내부의 넓이는 $\displaystyle \sqrt{3}-S=\dfrac{13\sqrt{3}}{27}$이다.그러므로 두 영역의 넓이 중에서 작은 값은 $\displaystyle \dfrac{13\sqrt{3}}{27}$이다.