자연계열 3번

자연수 $\displaystyle n$에 대하여 자연로그의 성질을 이용하면$\displaystyle a_{n}=n(\ln n)^{2}-2\ln n\sum_{k=n+1}^{2n}\ln k=\sum_{k=n+1}^{2n}\{(\ln n)^{2}-2(\ln n)(\ln k)\}$이므로,$\displaystyle a_{n}+b_{n}=\sum_{k=n+1}^{2n}(\ln k-\ln n)^{2}=\sum_{k=n+1}^{2n}\left\{\ln\left(\frac{k}{n}\right)\right\}^{2}=\sum_{k=1}^{n}\left\{\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\right\}^{2}$이다.

정적분과 급수의 합 사이의 관계로부터$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n}+b_{n}}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left\{\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\right\}^{2}=\int_{0}^{1}\{\ln(1+x)\}^{2}\,dx$이다.

한편 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \int_{0}^{1}\{\ln(1+x)\}^{2}\,dx=\int_{1}^{2}(\ln x)^{2}\,dx=\Biggl[x(\ln x)^{2}\Biggr]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\left(x\times\frac{2\ln x}{x}\right)dx=2(\ln2)^{2}-2\int_{1}^{2}\ln x\,dx$이고$\displaystyle \int_{1}^{2}\ln x\,dx=\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_{1}^{2}=(2\ln2-2)-(-1)=2\ln2-1$이므로$\displaystyle \int_{0}^{1}\{\ln(1+x)\}^{2}\,dx=2(\ln2)^{2}-4\ln2+2$이다.따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n}+b_{n}}{n}\right)=\int_{0}^{1}\{\ln(1+x)\}^{2}\,dx=2(\ln2)^{2}-4\ln2+2$이다.