자연계열 1번

$\displaystyle 0 \leq a \leq 1$이므로구간 $\displaystyle \left[0,\ \frac{\pi}{2}\right]$에서 곡선 $\displaystyle y=\sin x$와 직선 $\displaystyle y=a$의 교점은 하나만 존재한다.교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \theta$라 하면 $\displaystyle \sin\theta=a$이다.

함수 $\displaystyle f(x)=\sin x-a$의 부호는 $\displaystyle x=\theta,\ \pi-\theta,\ 2\pi+\theta,\ 3\pi-\theta$에서 바뀌므로구간 $\displaystyle [0,\ 3\pi]$를 $\displaystyle [0,\ \theta]$, $\displaystyle [\theta,\ \pi-\theta]$, $\displaystyle [\pi-\theta,\ 2\pi+\theta]$, $\displaystyle [2\pi+\theta,\ 3\pi-\theta]$, $\displaystyle [3\pi-\theta,\ 3\pi]$의 다섯 구간으로 나누어 적분한다.

$\displaystyle [0,\ \theta]$와 $\displaystyle [3\pi-\theta,\ 3\pi]$에서는 $\displaystyle f(x)\leq 0$이므로$\displaystyle \int_{0}^{\theta}|f(x)|\,dx=\int_{3\pi-\theta}^{3\pi}|f(x)|\,dx=\int_{0}^{\theta}(a-\sin x)\,dx=a\theta+\cos\theta-1$이다.

$\displaystyle [\theta,\ \pi-\theta]$와 $\displaystyle [2\pi+\theta,\ 3\pi-\theta]$에서는 $\displaystyle f(x)\geq 0$이므로$\displaystyle \int_{\theta}^{\pi-\theta}|f(x)|\,dx=\int_{2\pi+\theta}^{3\pi-\theta}|f(x)|\,dx=\int_{\theta}^{\pi-\theta}(\sin x-a)\,dx=2\cos\theta+2a\theta-a\pi$이다.

$\displaystyle [\pi-\theta,\ 2\pi+\theta]$에서는 $\displaystyle f(x)\leq 0$이므로$\displaystyle \int_{\pi-\theta}^{2\pi+\theta}|f(x)|\,dx=\int_{\pi-\theta}^{2\pi+\theta}(a-\sin x)\,dx=a\pi+2a\theta+2\cos\theta$이다.

다섯 구간의 적분값을 모두 더하면 $\displaystyle \int_{0}^{3\pi}|f(x)|\,dx=(8\theta-\pi)\sin\theta+8\cos\theta-2$이다.$\displaystyle g(\theta)=(8\theta-\pi)\sin\theta+8\cos\theta-2$라 하면,$\displaystyle g^{\prime}(\theta)=(8\theta-\pi)\cos\theta$이고함수 $\displaystyle g(\theta)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 구간 $\displaystyle \left[0,\ \frac{\pi}{2}\right]$에서 $\displaystyle g(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{8}$일 때 최솟값을 가진다.그러므로 $\displaystyle a=\sin\frac{\pi}{8}$일 때 주어진 정적분의 최솟값은 $\displaystyle 8\cos\frac{\pi}{8}-2$이다.