자연계열 3번

【 문제 3 】 새로운 공법을 이용하여 신제품을 생산하고 있는 연세기업에서는 생산 기계가 정상적으로 작동하면 신제품의 중량은 정규분포 $\displaystyle N(50,10^2)$을 (즉, 평균이 50, 표준편차가 10인 정규분포) 따른다고 한다. 그러나 생산 기계가 비정상적으로 작동하면 신제품의 중량은 정규분포 $\displaystyle N(37.5,10^2)$, 또는 정규분포 $\displaystyle N(62.5,10^2)$을 따르게 되는데 이 경우 정규분포 $\displaystyle N(37.5,10^2)$을 따를 확률은 0.7, 정규분포 $\displaystyle N(62.5,10^2)$을 따를 확률은 0.3이라고 한다.

기계의 정상 작동 여부를 검사하기 위하여 품질관리 부서에서는 생산된 신제품 4개를 표본으로 추출하여 이들 4개 제품 중량의 표본평균($\displaystyle =\bar X$)을 이용하기로 하고 아래와 같은 두 가지 안(案)을 마련하였다.

$\displaystyle A$안 : $\displaystyle 40\leq\bar X\leq60$ 이면 생산 기계가 정상적으로 작동하고 있다고 판단한다.

$\displaystyle B$안 : $\displaystyle 42\leq\bar X\leq65$ 이면 생산 기계가 정상적으로 작동하고 있다고 판단한다.

정규분포 $\displaystyle N(m,10^2)$을 따르는 모집단에서 4개의 표본을 추출하여 구한 표본평균 $\displaystyle \bar X$는 정규분포 $\displaystyle N\left(m,\frac{10^2}4\right)$을 따른다. 이 사실을 이용하여 아래 물음에 답하시오.

【3-1】 실제로 생산 기계가 정상적으로 작동하고 있을 때(즉, 생산되는 제품의 평균 중량이 50일 때), 품질관리 부서에서 기계가 정상적으로 작동하고 있다고 올바르게 판단하게 될 확률을 제안된 두 가지 안에 대해 각각 구하시오.(아래의 표준정규분포표를 이용할 것. 표준정규분포표에서 $\displaystyle Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수를 나타낸다.)(10점)

【3-2】 실제로 생산 기계가 비정상적으로 작동하고 있을 때(즉, 생산되는 제품의 평균 중량이 37.5, 또는 62.5일 때), 품질관리 부서에서 기계가 비정상적으로 작동하고 있다고 올바르게 판단하게 될 확률을 제안된 두 가지 안에 대해 각각 구하시오.(아래의 표준정규분포표를 이용할 것.)(20점)

【3-3】 품질관리 부서에서 제안한 두 가지 안 중에서 실제로 기계가 정상적으로 작동하고 있을 때 기계가 정상적으로 작동하고 있다고 올바르게 판단하게 될 확률과, 실제로 기계가 비정상적으로 작동하고 있을 때 기계가 비정상적으로 작동하고 있다고 올바르게 판단하게 될 확률이 큰 안을 최종 안으로 결정하려 한다. 위의【3-1】과【3-2】에서 구한 확률을 이용하여 두 가지 안 중에서 어떤 것이 최종 안으로 적절하다고 생각하는지에 대한 의견을 제시하시오.(5점)

< 표준정규분포표 >