의예과 1번

전체 시험 시간 180분

연세대 미래캠퍼스 2010학년도 모의 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2010mo/uiye_1

【 문제 1 】 가스탄(폭발과 동시에 유해가스가 배출되는 폭탄)이 폭발하면서 아래 그림과 같은 반구의 모양으로 유해가스가 퍼져 나간다고 하자.(단, 부피의 시간에 대한 변화율은 일정하다고 한다.) 아래 표는 초당 가스의 부피를 나타낸 자료이다.

$t\ (\text{초})$	$5$	(가)	$30$	$60$
$V\ (\mathrm{km}^3)$	$1,000\pi$	$2,250\pi$	(나)	$14,750\pi$

【1-1】 빈 칸 (가), (나)의 값을 추정하시오.(10점)

【1-2】 위와 같이 가스가 확산할 때, 반지름이 5㎞일 때 반지름의 시간에 대한 변화율을 설명하시오.(10점)

【1-3】 가스의 유해함을 막기 위해서는 반지름 r인 반구에 내접하는 최대 부피의 원기둥에 해당하는 양의 해독가스A가 필요하다고 한다. 반지름이 10㎞인 경우, 해독가스A의 양을 구하고 해독가스A의 부피의 시간에 대한 변화율을 설명하시오.(10점)

【1-4】 가스의 유해함을 막기 위해서는 반지름 r인 반구에 내접하는 최대 부피의 사면체에 해당하는 양의 해독가스B가 필요하다고 한다. 반지름이 10㎞인 경우, 해독가스B의 양을 구하고 해독가스B의 부피의 시간에 대한 변화율을 설명하시오.(10점)

해설강의 준비중

연세대 미래캠퍼스 2010학년도 모의 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2010mo/uiye_1

【1-1】부피의 시간에 대한 변화율이 일정함을 이용하면 (가)와 (나)를 구할 수 있다.

【1-2】반구모양의 가스의 부피는 $\displaystyle \mathrm{V}_1=\frac23\pi\mathrm{r}^3$ 이므로 부피의 시간에 대한 변화율은 $\displaystyle \frac{\mathrm{dV}_1}{\mathrm{dt}}=2\pi\mathrm{r}^2\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}$ 이다.따라서 이 식을 이용하면 반지름의 시간에 대한 변화율을 구할 수 있다.

+10점

【1-3】반지름 r인 반구에 내접하는 최대 원기둥의 부피를 알아보면, 원기둥의 반지름이 $\displaystyle \frac{\sqrt6}3\mathrm{r}$ 이고, 높이가 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3\mathrm{r}$ 일 때 원기둥의 부피가 최대임을 알 수 있다. (논리적인 설명 필요함, 설명이 틀리거나 없으면 감점.) 따라서 이 내용을 이용하면 문제해결이 가능하다.

+10점

【1-4】반지름 r인 반구에 내접하는 최대 부피의 사면체는, 사면체의 밑면은 한 변이 $\displaystyle \sqrt3\mathrm{r}$ 인 정삼각형이고 높이가 $\displaystyle \mathrm{r}$ 인 사면체일 때 부피가 최대이다. (논리적인 설명 필요함, 설명이 틀리거나 없으면 감점.) 따라서 이 내용을 이용하면 문제해결이 가능하다.

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