의예과 1번

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오. (50점)

함수 $\displaystyle y=f(x)$가 어떤 구간 $\displaystyle I$에 속하는 임의의 두 수 $\displaystyle a,b$에 대하여$\displaystyle a<b$일 때, $\displaystyle f(a)<f(b)$이면 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle I$에서 증가한다고 한다. 예를 들면, 함수 $\displaystyle y=a^x$ (단, $\displaystyle a>1$)은 구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$에서 증가함을 쉽게 보일 수 있다.

[1-1] 미분 가능한 함수 $\displaystyle y=f(x)$에 대하여, 어떤 구간 $\displaystyle I$의 모든 점에서 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 값이 항상 양수이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle I$에서 증가함을 보이시오. (10점)

[1-2] 실수 $\displaystyle a$가 $\displaystyle a>1$일 때, 구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$에서 정의된 함수 $\displaystyle y=x^2a^{-x}$의 극점(극대점 또는 극소점)과 변곡점의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하고 그래프의 개형을 그려보시오. (20점)

[1-3] 다음 두 수를 비교하여 큰 수를 구하고 그 이유를 설명하시오. (20점)$\displaystyle \pi^{\frac{1}{2}},\qquad 3^{\frac{\pi-1}{4}}$