연세대 미래캠퍼스 2013학년도 수시 자연계열 1번 해설

【문제 1】 아래 제시문을 읽고 문제에 답하시오. (30점)

어떤 회사의 한 부서에서 기밀문서를 금고에 보관했다. 5명의 부원 중에서 일정 인원 이상의 부원이 문서를 열람하는 데 동의를 해야 금고를 열어 문서를 볼 수 있도록 다음과 같이 하였다.

1단계. 금고의 비밀번호를 자연수 $\displaystyle m$ 으로 나타낸다.

2단계. 임의의 자연수 $\displaystyle n,k$ 를 선택하여 3차원 공간의 점 $\displaystyle P(m,n,k)$ 를 얻는다.

3단계. 5명의 부원에게 각각 점 $\displaystyle P$ 를 지나는 서로 다른 평면의 방정식 $\displaystyle \begin{aligned}z&=a_1x+b_1y+c_1\\z&=a_2x+b_2y+c_2\\z&=a_3x+b_3y+c_3\\z&=a_4x+b_4y+c_4\\z&=a_5x+b_5y+c_5\end{aligned}$ 을 준다. 여기서, $\displaystyle i=1,2,3,4,5$ 에 대하여 $\displaystyle c_i=k-a_im-b_in$ 이다.

4단계. 3명 이상( $\displaystyle \ge 3$ )이 모였을 때 각자의 방정식을 공개하여 평면의 교점 $\displaystyle P$ 를 구한다.

(문제 1-1) 기밀을 유출하기로 공모한 2명이 금고의 비밀번호를 알아낼 수 없는 이유를 설명하시오. (10점)Notice. 1-1은 두 부원이 비밀번호를 알아낼 수 없다는 결론이 주어진 조건에서 보장되지 않는 출제 오류 문항이다. 예를 들어 두 부원이 받은 식이 $\displaystyle z=x+y-1$ 과 $\displaystyle z=2x+y-2$ 이면 두 식을 빼서 $\displaystyle x=1$ 을 얻는다. 점 $\displaystyle \mathrm P$ 를 하나로 정하지 못해도 비밀번호인 $\displaystyle x$ 좌표는 알 수 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(문제 1-2) 부원 3명이 동의하여 금고를 열 수 있게 하려면 위 방정식의 계수들은 어떤 조건을 만족해야 하는지 논하시오. (20점)

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(문제 1-1)

주어진 조건만으로는 두 명이 비밀번호를 알아낼 수 없다고 할 수 없다.

실제로 두 사람이 받은 평면의 방정식이 $\displaystyle z=x+y-1,\qquad z=2x+y-2$ 이면, 두 식을 빼서 $\displaystyle x=1$ 을 얻는다. 따라서 교점의 나머지 좌표를 모르더라도 비밀번호가 $\displaystyle 1$ 임은 알 수 있다.

(문제 1-2)

세 사람이 받은 평면을 $\displaystyle z=a_ix+b_iy+c_i\quad(i=1,2,3)$ 이라 하자. 첫 번째 식을 나머지 두 식에서 각각 빼면 $\displaystyle \begin{cases} (a_2-a_1)x+(b_2-b_1)y=c_1-c_2,\\ (a_3-a_1)x+(b_3-b_1)y=c_1-c_3 \end{cases}$ 이다. 이 연립방정식의 해가 하나로 정해지려면 $\displaystyle (a_2-a_1)(b_3-b_1)-(a_3-a_1)(b_2-b_1)\ne0$ 이어야 한다. 그러면 $\displaystyle x,y$ 가 정해지고, 이를 평면의 방정식에 대입하여 $\displaystyle z$ 도 정해진다.

따라서 어느 세 사람이 모여도 교점 $\displaystyle P$ 를 구할 수 있게 하려면, 다섯 평면에서 고른 모든 세 평면의 계수가 위 조건을 만족해야 한다.

다만 이 조건만으로 두 사람이 비밀번호를 알아낼 수 없게 되는 것은 아니다. 예를 들어 다섯 쌍 $\displaystyle (a_i,b_i)$ 를 $\displaystyle (1,1),\ (2,1),\ (3,2),\ (4,4),\ (5,8)$ 로 정하고 $\displaystyle c_i=1-a_i-b_i$ 라 하면, 모든 세 평면은 $\displaystyle P(1,1,1)$ 에서 만난다. 그러나 앞의 두 평면만으로도 비밀번호 $\displaystyle 1$ 을 알아낼 수 있다.

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