자연계열 1번

(문제 1-1)

주어진 조건만으로는 두 명이 비밀번호를 알아낼 수 없다고 할 수 없다.

실제로 두 사람이 받은 평면의 방정식이$\displaystyle z=x+y-1,\qquad z=2x+y-2$이면, 두 식을 빼서 $\displaystyle x=1$을 얻는다. 따라서 교점의 나머지 좌표를 모르더라도 비밀번호가 $\displaystyle 1$임은 알 수 있다.

(문제 1-2)

세 사람이 받은 평면을$\displaystyle z=a_ix+b_iy+c_i\quad(i=1,2,3)$이라 하자. 첫 번째 식을 나머지 두 식에서 각각 빼면$\displaystyle \begin{cases} (a_2-a_1)x+(b_2-b_1)y=c_1-c_2,\\ (a_3-a_1)x+(b_3-b_1)y=c_1-c_3 \end{cases}$이다. 이 연립방정식의 해가 하나로 정해지려면$\displaystyle (a_2-a_1)(b_3-b_1)-(a_3-a_1)(b_2-b_1)\ne0$이어야 한다. 그러면 $\displaystyle x,y$가 정해지고, 이를 평면의 방정식에 대입하여 $\displaystyle z$도 정해진다.

따라서 어느 세 사람이 모여도 교점 $\displaystyle P$를 구할 수 있게 하려면, 다섯 평면에서 고른 모든 세 평면의 계수가 위 조건을 만족해야 한다.

다만 이 조건만으로 두 사람이 비밀번호를 알아낼 수 없게 되는 것은 아니다. 예를 들어 다섯 쌍 $\displaystyle (a_i,b_i)$를$\displaystyle (1,1),\ (2,1),\ (3,2),\ (4,4),\ (5,8)$로 정하고 $\displaystyle c_i=1-a_i-b_i$라 하면, 모든 세 평면은 $\displaystyle P(1,1,1)$에서 만난다. 그러나 앞의 두 평면만으로도 비밀번호 $\displaystyle 1$을 알아낼 수 있다.