자연계열 1번

(문제 1-1)

정사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 한 변의 길이를 $\displaystyle q$라고 하면, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle (p+q,0)$이다.

정사각형의 모든 변의 길이는 같으므로 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle q$이다. 또한, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 함수 $\displaystyle y=2\sqrt{3x}$ 위의 점이므로 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=2\sqrt{3p}$이다. 따라서 $\displaystyle q=2\sqrt{3p}$이다.

위와 동일한 방법으로 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 $\displaystyle y$좌표를 구하면, $\displaystyle q=2\sqrt{p+q}$이다.Correction. 해당 좌표 설명의 B는 C의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그러므로 $\displaystyle q=2\sqrt{3p}=2\sqrt{p+q}$이다. 양변을 제곱하고 $\displaystyle p$에 대해서 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}2\sqrt{3p}&=2\sqrt{p+q}\\12p&=4(p+q)\\8p&=4q\\p&=q/2\end{aligned}$

위에서 구한 $\displaystyle p=q/2$를 다시 $\displaystyle q=2\sqrt{3p}$에 대입하면 $\displaystyle q=2\sqrt{3q/2}$를 얻는다. 양변을 제곱하고 $\displaystyle q$에 대해서 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}q&=2\sqrt{3q/2}\\q^2&=12q/2\\q&=6\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle q=6$이고 $\displaystyle p$에 대한 관계식 $\displaystyle p=q/2$에 의해서 $\displaystyle p=3$이다.

(문제 1-2)

닫힌구간 $\displaystyle [p,p+q]$ 또는 $\displaystyle [3,9]$의 임의의 점 $\displaystyle x$에서 입체도형의 단면을 이루는 정삼각형의 한 변의 길이 $\displaystyle \ell(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle \ell(x)=q-2\sqrt x=6-2\sqrt x$그러므로, 단면의 넓이가 $\displaystyle S(x)$는 정삼각형의 넓이 공식에 의해 다음과 같다.$\displaystyle S(x)=\frac{\sqrt3}4\ell(x)^2=\frac{\sqrt3}4(6-2\sqrt x)^2$

이 때, $\displaystyle S(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [3,9]$에서 연속이다. 그러므로 제시문 (나)에 의해서 입체도형의 부피 $\displaystyle V$는 다음과 같다.Correction. 부피 계산에서 참조한 제시문 (나)는 (가)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}V&=\int_p^{p+q}S(x)\,dx=\int_3^9\frac{\sqrt3}4(6-2\sqrt x)^2\,dx\\&=\frac{\sqrt3}4\int_3^9(36-24\sqrt x+4x)\,dx\\&=\sqrt3\Biggl[9x-4x^{3/2}+x^2/2\Biggr]_3^9\\&=\sqrt3\left[9(9-3)-4(9^{3/2}-3^{3/2})+(9^2-3^2)/2\right]\\&=\sqrt3\left[54-4(27-3\sqrt3)+(81-9)/2\right]\\&=\sqrt3(54-108+12\sqrt3+36)\\&=\sqrt3(12\sqrt3-18)\\&=36-18\sqrt3\\&=m+n\sqrt3\\\therefore\quad m&=36,\ n=-18\quad\Rightarrow\quad m+n=18\end{aligned}$