연세대 미래캠퍼스 2024학년도 수시 자연계열 3번 해설

【문제 3】아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (40점)

(가) 참 또는 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라고 한다. 예를 들어, 문장 $\displaystyle \text{‘}a,b\text{가 실수일 때, }a^{2}+b^{2}=0\text{이면 }a=0\text{이고 }b=0\text{이다.’}$ --- (✽)는 명제이다.용어의 뜻을 명확하게 정한 문장을 정의라고 한다. 한편 정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 이용하여 어떤 명제가 참임을 설명하는 것을 증명이라고 한다.

(나) 함수 $\displaystyle f:X\to Y$ 에서 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, 함수 $\displaystyle f$ 를 일대일대응이라고 한다.① 일대일함수이다. ② 치역과 공역이 같다

(다) 다음 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다.① 두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 가 일어나는 경우의 수가 각각 $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 이고 두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 가 동시에는 일어나지 않을 때, 사건 $\displaystyle A$ 또는 사건 $\displaystyle B$ 가 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle m+n$ 이다.② 두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나는 경우의 수가 $\displaystyle m$ 이고, 그 각각의 경우에 대하여 사건 $\displaystyle B$ 가 일어나는 경우의 수가 $\displaystyle n$ 일 때, 사건 $\displaystyle A$ 에 잇달아 사건 $\displaystyle B$ 가 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle m\times n$ 이다.

[문제 3-1] 다음은 제시문 (가)에서 제시한 명제 (✽)가 참임을 귀류법을 이용하여 증명하는 과정이다. (Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ), (Ⅳ)를 증명 순서대로 나열하고 빈칸에 알맞은 것을 써넣어 증명을 완성하시오. (10점)

(Ⅰ) 이때 세 가지 경우 모두 $\displaystyle a^{2}+b^{2}=0$ 이라는 가정에 모순이다.(Ⅱ) 따라서 $\displaystyle a,b$ 가 실수일 때, $\displaystyle a^{2}+b^{2}=0$ 이면 $\displaystyle a=0$ 이고 $\displaystyle b=0$ 이다.(Ⅲ) 결론을 부정하여 　　　　　　　 이라고 하자.(Ⅳ) ① $\displaystyle a\neq 0,\ b=0$ 이면 $\displaystyle a^{2}>0$ , $\displaystyle b^{2}=0$ 이므로 $\displaystyle a^{2}+b^{2}>0$ , 즉 $\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0$ ② $\displaystyle a=0,\ b\neq 0$ 이면 $\displaystyle a^{2}=0$ , $\displaystyle b^{2}>0$ 이므로 　　　　　　 , 즉 　　　　　　③ 　　　　　　　　　　　　　　　

[문제 3-2] 제시문 (나)에서 주어진 어떤 일대일대응 $\displaystyle f:X\to Y$ 가 다음과 같이 주어질 때, $\displaystyle \frac{q}{p}$ 의 값을 모두 구하시오. (단, $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 는 실수) (15점) $\displaystyle X=\left\{x\,|\,-c\le x\le c,\ c>0\right\},\quad Y=\left\{y\,|\,-8\le y\le 0\right\},\quad f(x)=px+q$

[문제 3-3] 삼각형의 세 변의 길이 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ , $\displaystyle x_{3}$ 가 자연수일 때, 다음을 만족시키는 삼각형의 개수를 구하시오. (15점) $\displaystyle x_{1}\ge x_{2}\ge x_{3},\quad x_{1}+x_{2}+x_{3}=36$

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[문제 3-1] (답)

결론을 부정하여 $\displaystyle a\neq 0$ 또는 $\displaystyle b\neq 0$ 이라고 하자. $\displaystyle a\neq 0,\ b=0$ 이면 $\displaystyle a^{2}>0$ , $\displaystyle b^{2}=0$ 이므로 $\displaystyle a^{2}+b^{2}>0$ , 즉 $\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0$ $\displaystyle a=0,\ b\neq 0$ 이면 $\displaystyle a^{2}=0$ , $\displaystyle b^{2}>0$ 이므로 $\displaystyle a^{2}+b^{2}>0$ , 즉 $\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0$ $\displaystyle a\neq 0,\ b\neq 0$ 이면 $\displaystyle a^{2}>0$ , $\displaystyle b^{2}>0$ 이므로 $\displaystyle a^{2}+b^{2}>0$ , 즉 $\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0$ 이때 세 가지 경우 모두 $\displaystyle a^{2}+b^{2}=0$ 이라는 가정에 모순이다.따라서 $\displaystyle a,b$ 가 실수일 때, $\displaystyle a^{2}+b^{2}=0$ 이면 $\displaystyle a=0$ 이고 $\displaystyle b=0$ 이다.

[문제 3-2] (답) $\displaystyle \pm c$

(풀이) 문제의 조건을 만족시키는 일차함수는 다음 두 경우의 직선의 방정식이다.① 두 점 $\displaystyle (c,0)$ , $\displaystyle (-c,-8)$ 을 지나는 직선의 방정식: 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{-8-0}{-c-c}$ 이고 점 $\displaystyle (c,0)$ 을 지나므로 직선의 방정식은 $\displaystyle y-0=\frac{8}{2c}(x-c)$ 이다. 즉, $\displaystyle y=\frac{4}{c}x-4$ ② 두 점 $\displaystyle (-c,0)$ , $\displaystyle (c,-8)$ 을 지나는 직선의 방정식: 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{-8-0}{c-(-c)}$ 이고 점 $\displaystyle (-c,0)$ 을 지나므로 직선의 방정식은 $\displaystyle y-0=\frac{-8}{2c}(x+c)$ 이다. 즉, $\displaystyle y=-\frac{4}{c}x-4$ 따라서 $\displaystyle \frac{q}{p}=\pm c$ 이다.

[문제 3-3] (답) 27

(풀이) $\displaystyle x_{1}\ge x_{2}\ge x_{3}\ge 1$ 이므로 $\displaystyle x_{1}\ge 12$ 이다. 또 삼각형의 두 변의 길이의 합은 다른 한 변의 길이보다 길어야하므로 $\displaystyle x_{1}<18$ 이다. 즉, $\displaystyle 12\le x_{1}<18$ 이므로 문제의 조건을 만족시키는 삼각형의 세 변의 길이 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ , $\displaystyle x_{3}$ 를 $\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})$ 으로 나타내자. $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ , $\displaystyle x_{3}$ 가 자연수일 때, 방정식 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=36$ (단, $\displaystyle 12\le x_{1}<18$ )이 성립하는 각 경우의 삼각형의 세 변의 길이 $\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})$ 는 다음과 같다.

$\displaystyle x_{1}=12$ 일 때, $\displaystyle (12,12,12)$ 로 1개 $\displaystyle x_{1}=13$ 일 때, $\displaystyle (13,13,10)$ , $\displaystyle (13,12,11)$ 로 2개 $\displaystyle x_{1}=14$ 일 때, $\displaystyle (14,14,8)$ , $\displaystyle (14,13,9)$ , $\displaystyle (14,12,10)$ , $\displaystyle (14,11,11)$ 로 4개 $\displaystyle x_{1}=15$ 일 때, $\displaystyle (15,15,6)$ , $\displaystyle (15,14,7)$ , $\displaystyle (15,13,8)$ , $\displaystyle (15,12,9)$ , $\displaystyle (15,11,10)$ 로 5개 $\displaystyle x_{1}=16$ 일 때, $\displaystyle (16,16,4)$ , $\displaystyle (16,15,5)$ , $\displaystyle (16,14,6)$ , $\displaystyle (16,13,7)$ , $\displaystyle (16,12,8)$ , $\displaystyle (16,11,9)$ , $\displaystyle (16,10,10)$ 로 7개 $\displaystyle x_{1}=17$ 일 때, $\displaystyle (17,17,2)$ , $\displaystyle (17,16,3)$ , $\displaystyle (17,15,4)$ , $\displaystyle (17,14,5)$ , $\displaystyle (17,13,6)$ , $\displaystyle (17,12,7)$ , $\displaystyle (17,11,8)$ , $\displaystyle (17,10,9)$ 로 8개

따라서 구하는 삼각형의 개수는 1+2+4+5+7+8=27개이다.

[문제 3-1] (10점)(상) 답이 맞는 경우(중상) 증명의 순서는 맞지만 빈칸의 표현이 정확하지 못한 경우(중하) 빈칸의 답은 맞지만 증명의 순서가 틀린 경우(하) 전혀 엉뚱한 답을 한 경우

[문제 3-2] (15점)(상) 답이 맞고 그 이유를 명확히 제시한 경우(중상) 답은 맞지만 그 이유의 표현이 정확하지 못한 경우(중하) 답을 하나만 쓰거나 답이 모두 틀렸지만 설명하려고 노력한 경우(하) 전혀 엉뚱한 설명을 한 경우

[문제 3-3] (15점)(상) 답을 맞게 계산한 경우(중상) 답은 맞지만 그 이유의 표현이 정확하지 못한 경우(중하) 답은 틀렸지만 세 변의 길이를 구하려고 노력한 경우(하) 전혀 엉뚱한 설명을 한 경우

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