자연계열 3번

[문제 3-1] (답)

결론을 부정하여 $\displaystyle a\neq 0$ 또는 $\displaystyle b\neq 0$이라고 하자.$\displaystyle a\neq 0,\ b=0$이면 $\displaystyle a^{2}>0$, $\displaystyle b^{2}=0$이므로 $\displaystyle a^{2}+b^{2}>0$, 즉 $\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0$$\displaystyle a=0,\ b\neq 0$이면 $\displaystyle a^{2}=0$, $\displaystyle b^{2}>0$이므로 $\displaystyle a^{2}+b^{2}>0$, 즉 $\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0$$\displaystyle a\neq 0,\ b\neq 0$이면 $\displaystyle a^{2}>0$, $\displaystyle b^{2}>0$이므로 $\displaystyle a^{2}+b^{2}>0$, 즉 $\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0$이때 세 가지 경우 모두 $\displaystyle a^{2}+b^{2}=0$이라는 가정에 모순이다.따라서 $\displaystyle a,b$가 실수일 때, $\displaystyle a^{2}+b^{2}=0$이면 $\displaystyle a=0$이고 $\displaystyle b=0$이다.

[문제 3-2] (답) $\displaystyle \pm c$

(풀이) 문제의 조건을 만족시키는 일차함수는 다음 두 경우의 직선의 방정식이다.① 두 점 $\displaystyle (c,0)$, $\displaystyle (-c,-8)$을 지나는 직선의 방정식: 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{-8-0}{-c-c}$이고 점 $\displaystyle (c,0)$을 지나므로 직선의 방정식은 $\displaystyle y-0=\frac{8}{2c}(x-c)$이다. 즉, $\displaystyle y=\frac{4}{c}x-4$② 두 점 $\displaystyle (-c,0)$, $\displaystyle (c,-8)$을 지나는 직선의 방정식: 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{-8-0}{c-(-c)}$이고 점 $\displaystyle (-c,0)$을 지나므로 직선의 방정식은 $\displaystyle y-0=\frac{-8}{2c}(x+c)$이다. 즉, $\displaystyle y=-\frac{4}{c}x-4$따라서 $\displaystyle \frac{q}{p}=\pm c$이다.

[문제 3-3] (답) 27

(풀이) $\displaystyle x_{1}\ge x_{2}\ge x_{3}\ge 1$이므로 $\displaystyle x_{1}\ge 12$이다. 또 삼각형의 두 변의 길이의 합은 다른 한 변의 길이보다 길어야하므로 $\displaystyle x_{1}<18$이다. 즉, $\displaystyle 12\le x_{1}<18$이므로 문제의 조건을 만족시키는 삼각형의 세 변의 길이 $\displaystyle x_{1}$, $\displaystyle x_{2}$, $\displaystyle x_{3}$를 $\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})$으로 나타내자. $\displaystyle x_{1}$, $\displaystyle x_{2}$, $\displaystyle x_{3}$가 자연수일 때, 방정식 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=36$ (단, $\displaystyle 12\le x_{1}<18$)이 성립하는 각 경우의 삼각형의 세 변의 길이 $\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})$는 다음과 같다.

$\displaystyle x_{1}=12$일 때, $\displaystyle (12,12,12)$로 1개$\displaystyle x_{1}=13$일 때, $\displaystyle (13,13,10)$, $\displaystyle (13,12,11)$로 2개$\displaystyle x_{1}=14$일 때, $\displaystyle (14,14,8)$, $\displaystyle (14,13,9)$, $\displaystyle (14,12,10)$, $\displaystyle (14,11,11)$로 4개$\displaystyle x_{1}=15$일 때, $\displaystyle (15,15,6)$, $\displaystyle (15,14,7)$, $\displaystyle (15,13,8)$, $\displaystyle (15,12,9)$, $\displaystyle (15,11,10)$로 5개$\displaystyle x_{1}=16$일 때, $\displaystyle (16,16,4)$, $\displaystyle (16,15,5)$, $\displaystyle (16,14,6)$, $\displaystyle (16,13,7)$, $\displaystyle (16,12,8)$, $\displaystyle (16,11,9)$, $\displaystyle (16,10,10)$로 7개$\displaystyle x_{1}=17$일 때, $\displaystyle (17,17,2)$, $\displaystyle (17,16,3)$, $\displaystyle (17,15,4)$, $\displaystyle (17,14,5)$, $\displaystyle (17,13,6)$, $\displaystyle (17,12,7)$, $\displaystyle (17,11,8)$, $\displaystyle (17,10,9)$로 8개

따라서 구하는 삼각형의 개수는 1+2+4+5+7+8=27개이다.