의예과 2번

(문제 2-1)

제시문 (라)에 의해서 산책로는 게양대를 초점으로 갖고 장축의 길이가 $\displaystyle 2a=180$인 타원의 방정식을 따른다. 제시문 (다)에 의해서 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{DA}}$가 이 타원의 장축이 되며, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$와 점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 이 타원의 장축 방향의 양 끝점이 된다.

제시문 (마)에 의해서 꽃길은 게양대를 초점으로 갖고 주축의 길이가 $\displaystyle 2a^{\prime}=60$인 쌍곡선의 방정식을 따른다. 제시문 (바)에 의해서 파란 꽃길은 점 $\displaystyle \mathrm{B}$에서 만난다.

선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{DA}}$ 중심을 원점으로 하고 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{DA}}$가 $\displaystyle x$축 위에 있도록 좌표평면을 정의하면, 타원의 방정식과 쌍곡선의 방정식은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\quad\frac{x^2}{a^{\prime2}}-\frac{y^2}{b^{\prime2}}=1$이 때, 제시문 (라)와 (마)에 의해서 두 곡선은 모두 게양대의 위치를 초점으로 갖는다. 이 초점의 좌표를 $\displaystyle (-c,0)$, $\displaystyle (c,0)$라 하면, 다음을 만족한다.$\displaystyle c^2=a^2-b^2,\ c^2=a^{\prime2}+b^{\prime2}$, 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$의 길이 $\displaystyle =2c$

제시문 (사)에서 정의된 음수대의 위치를 점 $\displaystyle \mathrm{R}$이라 하고, 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}$의 길이를 $\displaystyle u$, 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{RQ}}$의 길이를 $\displaystyle v$라 하면, 제시문 (사)에 의해서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$은 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립한다.$\displaystyle (2c)^2=u^2+v^2$또한, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 타원과 쌍곡선 위의 점이므로, 다음이 성립한다.$\displaystyle v+u=2a,\ v-u=2a^{\prime}$위의 세 식을 다음과 같이 정리하여 $\displaystyle u$, $\displaystyle v$, $\displaystyle c$를 $\displaystyle a$와 $\displaystyle a^{\prime}$으로 표현할 수 있다.$\displaystyle \begin{cases}4c^2=u^2+v^2\\2a=v+u\\2a^{\prime}=v-u\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4c^2=u^2+v^2\\u=a-a^{\prime}\\v=a+a^{\prime}\end{cases}$$\displaystyle \Rightarrow4c^2=(a-a^{\prime})^2+(a+a^{\prime})^2\Rightarrow c^2=(a^2+a^{\prime2})/2\Rightarrow c=\frac{\sqrt{a^2+a^{\prime2}}}{\sqrt2}$

여기에서 $\displaystyle a=90$, $\displaystyle a^{\prime}=60$을 대입하여 $\displaystyle c$값을 구할 수 있다.Correction. $\displaystyle a^{\prime}=60$은 $\displaystyle a^{\prime}=30$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \therefore\ c=\frac{\sqrt{a^2+a^{\prime2}}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{90^2+30^2}}{\sqrt2}=30\frac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=30\sqrt5$

타원의 방정식에서 $\displaystyle a=90$, $\displaystyle c=30\sqrt5$이므로 $\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}$를 구할 수 있고, 쌍곡선의 방정식에서 $\displaystyle a^{\prime}=30$, $\displaystyle c=30\sqrt5$이므로 $\displaystyle b^{\prime}=\sqrt{c^2-a^{\prime2}}$를 구할 수 있다. 숫자를 대입한 결과는 다음과 같다.$\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{90^2-30^2\cdot5}=30\sqrt{9-5}=60$$\displaystyle b^{\prime}=\sqrt{c^2-a^{\prime2}}=\sqrt{30^2\cdot5-30^2}=30\sqrt{5-1}=60$

이제 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$의 길이는 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle a=90$일 때 쌍곡선의 $\displaystyle y$좌표와 값이 같다. 쌍곡선의 방정식을 $\displaystyle y>0$에 관하여 정리하고 해서 $\displaystyle x=90$을 대입하자.$\displaystyle \frac{x^2}{a^{\prime2}}-\frac{y^2}{b^{\prime2}}=1\Rightarrow y=b^{\prime}\sqrt{\frac{x^2}{a^{\prime2}}-1}=60\sqrt{\frac{90^2}{30^2}-1}=60\sqrt{3^2-1}=120\sqrt2$그러므로 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$의 길이는 $\displaystyle 120\sqrt2$이다.

답을 정리해서 쓰면 다음과 같다.두 국기게양대 사이의 거리 $\displaystyle =2c=60\sqrt5$,공원의 세로 길이 $\displaystyle =$ 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$의 길이 $\displaystyle =120\sqrt2$

(문제 2-2)

$\displaystyle \mathrm{P}$ 지점에 있는 국기게양대의 꼭대기를 점 $\displaystyle \mathrm{H}$라 하고, 문제에서 주어진 각도 $\displaystyle \angle\mathrm{PBH}=15^\circ$를 $\displaystyle \theta$라고 하자. 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{PBH}$에서 각 $\displaystyle \angle\mathrm{PBH}$에 대한 탄젠트 값은 $\displaystyle \tan\theta=\frac{\overline{\mathrm{HP}}}{\overline{\mathrm{BP}}}$이다. 그러므로 구하고자 하는 값 $\displaystyle h^2$은 다음과 같다.$\displaystyle h^2=\tan^2\theta\cdot\overline{\mathrm{BP}}^2$$\displaystyle h^2$을 구하기 위해 $\displaystyle \tan\theta$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}^2$을 구하자.

첫째로 $\displaystyle \tan\theta=\tan15^\circ$를 구하기 위해 다음과 같이 삼각함수의 덧셈공식을 사용하자.$\displaystyle \begin{aligned}\tan\theta&=\tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=\frac{\tan45^\circ-\tan30^\circ}{1+\tan45^\circ\tan30^\circ}\\&=\frac{1-1/\sqrt3}{1+1\cdot1/\sqrt3}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=\frac{3+1-2\sqrt3}{3-1}=2-\sqrt3\end{aligned}$

둘째로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}^2$을 구하기 위해 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{PAB}$를 관찰하자. 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{PAB}$는 각 $\displaystyle \angle\mathrm{PAB}$가 $\displaystyle 90^\circ$인 직각삼각형이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}=a-c=90-30\sqrt5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=120\sqrt2$이므로 피타고라스 정리에 의해서 다음과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}^2$을 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{BP}}^2&=(90-30\sqrt5)^2+(120\sqrt2)^2\\&=30^2(3^2+5-2\cdot3\sqrt5+4^2\cdot2)\\&=1800(23-3\sqrt5)\end{aligned}$

위에서 구한 $\displaystyle \tan\theta$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}^2$의 값을 $\displaystyle h^2=\tan^2\theta\cdot\overline{\mathrm{BP}}^2$에 대입하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}h^2&=\tan^2\theta\cdot\overline{\mathrm{BP}}^2\\&=(2-\sqrt3)^2\cdot1800(23-3\sqrt5)\\&=1800(161-92\sqrt3-21\sqrt5+12\sqrt{15})\end{aligned}$

그러므로 $\displaystyle h_1=161$, $\displaystyle h_2=-92$, $\displaystyle h_3=-21$, $\displaystyle h_4=12$이므로$\displaystyle h_1+h_2+h_3+h_4=161-92-21+12=60$이다.