자연계열 2번

[문제 2-1] 도함수의 정의를 이용하여, 함수 $\displaystyle y=\cos2x$의 도함수를 유도하시오. (15점)

(풀이)

도함수의 정의에 의하여, 함수 $\displaystyle y=\cos2x$의 도함수는$\displaystyle \begin{aligned}y^{\prime}&=\lim_{h\to0}\frac{\cos2(x+h)-\cos2x}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{\cos2x\cos2h-\sin2x\sin2h-\cos2x}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{\cos2x(\cos2h-1)}h-\lim_{h\to0}\frac{\sin2x\sin2h}h\\&=\cos2x\left(\lim_{h\to0}\frac{\cos2h-1}h\right)-\sin2x\left(\lim_{h\to0}\frac{\sin2h}h\right),\end{aligned}$여기서 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\cos2h-1}h=\lim_{h\to0}\frac{\cos2h-1}{2h}\times2=0$과$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\sin2h}h=\lim_{h\to0}\frac{\sin2h}{2h}\times2=2$을 이용하면,$\displaystyle =-2\sin2x$

[문제 2-2] 함수가 $\displaystyle f(x)=e^{-x}\cos2x$일 때, 도함수의 정의를 이용하여, 극한값$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac1x[f(x)+f(2x)+f(3x)+\cdots+f(2023x)-2023]$을 구하시오. (15점)

(풀이)

함수 $\displaystyle f(x)=e^{-x}\cos2x$에서 $\displaystyle f(0)=1$이다. 또한$\displaystyle f^{\prime}(x)=-e^{-x}\cos2x-2e^{-x}\sin2x$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=-1$이다.도함수의 정의를 이용하기 위하여,$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac1x[f(kx)-f(0)]=\lim_{x\to0}\frac{f(kx)-f(0)}{kx-0}\times k=kf^{\prime}(0)$을 이용하자.$\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{x\to0}\frac1x[f(x)+f(2x)+f(3x)+\cdots+f(2023x)-2023]\\&=\lim_{x\to0}\frac1x[(f(x)-f(0))+(f(2x)-f(0))+(f(3x)-f(0))+\cdots+(f(2023x)-f(0))]\\&=(1+2+\cdots+2023)f^{\prime}(0)\\&=-(1+2+\cdots+2023)=-\frac{2023(2023+1)}2=-2,047,276\end{aligned}$