자연계열 2번

(문제 2-1) 배점 10점

(정답) $\displaystyle S_1=\frac{e^{cN}}{2c}$

(풀이)

제시문으로부터

$\displaystyle f(x)=e^{cx}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=ce^{cx}$

$\displaystyle A_n(a_n,0)$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=f^{\prime}(a_n)(x-a_n)+f(a_n)$Correction. 곡선 위의 접점은 $\displaystyle A_n$이 아니라 $\displaystyle B_n(a_n,f(a_n))$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이 함수의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle 0=f^{\prime}(a_n)(a_{n+1}-a_n)+f(a_n)$로 부터 $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f^{\prime}(a_n)}$

따라서 $\displaystyle a_2=a_1-\frac{f(a_1)}{f^{\prime}(a_1)}=N-\frac{e^{cN}}{ce^{cN}}=N-\frac1c$

삼각형 $\displaystyle A_1B_1A_2$의 밑변의 길이는 $\displaystyle |a_2-a_1|=\left|N-\frac1c-N\right|=\frac1c$이고,

높이는 $\displaystyle f(a_1)=f(N)=e^{cN}$이므로

$\displaystyle A_1B_1A_2$의 넓이($\displaystyle S_1$)는 $\displaystyle \frac12\frac1ce^{cN}=\frac{e^{cN}}{2c}$

(문제 2-2) 배점 10점

(정답) $\displaystyle S_n=\frac{e^{cN-(n-1)}}{2c}$

(풀이)

$\displaystyle a_2=N-\frac1c$

$\displaystyle f(a_2)=f\left(N-\frac1c\right)=e^{c\left(N-\frac1c\right)}$,

$\displaystyle a_3=a_2-\frac{f(a_2)}{f^{\prime}(a_2)}=\left(N-\frac1c\right)-\frac{e^{c\left(N-\frac1c\right)}}{ce^{c\left(N-\frac1c\right)}}=N-\frac1c-\frac1c=N-\frac2c$

$\displaystyle f(a_3)=f\left(N-\frac2c\right)=e^{c\left(N-\frac2c\right)}$, $\displaystyle a_4=a_3-\frac{f(a_3)}{f^{\prime}(a_3)}=\left(N-\frac2c\right)-\frac{e^{c\left(N-\frac2c\right)}}{ce^{c\left(N-\frac2c\right)}}=N-\frac2c-\frac1c=N-\frac3c$

$\displaystyle f(a_4)=f\left(N-\frac3c\right)=e^{c\left(N-\frac3c\right)}$

⋮

$\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f^{\prime}(a_n)}=\left(N-\frac{n-1}c\right)-\frac{e^{c\left(N-\frac{n-1}c\right)}}{ce^{c\left(N-\frac{n-1}c\right)}}=N-\frac{n-1}c-\frac1c=N-\frac nc$

$\displaystyle a_{n+1}=\left(N-\frac nc\right)$, $\displaystyle a_n=\left(N-\frac{n-1}c\right)$

삼각형 밑변의 길이는 $\displaystyle |a_{n+1}-a_n|=\left|\left(N-\frac nc\right)-\left(N-\frac{n-1}c\right)\right|=\frac1c$

높이는 $\displaystyle f(a_n)=e^{c\left(N-\frac{n-1}c\right)}$

삼각형의 넓이는 $\displaystyle S_n=\frac12|(a_{n+1}-a_n)|f(a_n)=\frac12\frac1ce^{c\left(N-\frac{n-1}c\right)}=\frac{e^{cN-n+1}}{2c}$

(문제 2-3) 배점 5점

(정답) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\frac{e^{cN+1}}{2c(e-1)}$

(풀이)

넓이의 합 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{cN-n+1}}{2c}=\frac{e^{cN+1}}{2c}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n}$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}e^{-n}$는 첫 번째 항이 $\displaystyle e^{-1}$이고, 공비가 $\displaystyle e^{-1}$인 등비수열의 합이므로

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}e^{-n}=\frac{e^{-1}}{1-e^{-1}}$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\frac{e^{cN+1}}{2c}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n}=\frac{e^{cN+1}}{2c}\frac{e^{-1}}{1-e^{-1}}=\frac{e^{cN+1}}{2c(e-1)}$

등비수열의 합을 이용해 면적의 합을 구하면

(문제 2-4) 배점 20점

(정답) $\displaystyle N+4$

(풀이)

$\displaystyle f(a_n)=e^{c\left(N-\frac{n-1}c\right)}$에서 $\displaystyle c=1$이면,

$\displaystyle f(a_n)=e^{(N-n+1)}$이고,

$\displaystyle f(a_{n+1})=e^{(N-(n+1)+1)}=e^{(N-n)}$이다.

이때 $\displaystyle n=N+1$이면

$\displaystyle f(a_{N+1})=e^{(N-(N+1)+1)}=e^0=1$이다.

$\displaystyle \frac{f(a_{n+1})}{f(a_n)}=\frac{e^{(N-n)}}{e^{(N-n+1)}}=\frac1e$이므로 $\displaystyle f(a_{n+1})=\frac1ef(a_n)$

따라서 $\displaystyle \frac{f(a_{N+2})}{f(a_{N+1})}=\frac1e$이고, $\displaystyle f(a_{N+2})=\frac1ef(a_{N+1})=\frac1e$이다.

$\displaystyle f(a_{N+2})=\frac1ef(a_{N+1})=\frac1e\approx\frac1{2.7}\approx.370\ (>0.1)$

$\displaystyle f(a_{N+3})=\frac1ef(a_{N+2})=\frac1e\frac1ef(a_{N+1})=\frac1{e^2}\approx\frac1{2.7^2}\approx0.137\ (>0.1)$

$\displaystyle f(a_{N+4})=\frac1{e^3}\approx\frac1{2.7^3}=0.051\ (<0.1)$

$\displaystyle n$이 증가할수록 $\displaystyle f(a_n)$은 점점 작아지므로 $\displaystyle f(a_n)<0.1$인 자연수 $\displaystyle n$의 최솟값은 $\displaystyle N+4$이다.