의예과 3번

(문제 3-1)

해설의 편의를 위해 $\displaystyle \alpha=\theta/2$, 원 $\displaystyle O_1$의 반지름을 $\displaystyle g$, 원 $\displaystyle O_1$의 중심을 $\displaystyle G$, $\displaystyle \overline{OH}=k$라 하자.

선분 $\displaystyle OE$에서 $\displaystyle \overline{OE}-\overline{GE}=1-g$이고 삼각형 $\displaystyle HOG$에서 $\displaystyle \sin\alpha=\frac g{1-g}$이다.

그러므로 $\displaystyle g(\alpha)=\frac{\sin\alpha}{1+\sin\alpha}$이고 삼각형 $\displaystyle HOG$에서 $\displaystyle k(\alpha)=\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}$이다.

타원 $\displaystyle T$의 단축의 길이를 $\displaystyle 2b$라 할 때, $\displaystyle b^2=1^2-k^2=1-\frac{\cos^2\alpha}{(1+\sin\alpha)^2}$이다.

$\displaystyle \overline{OH}=\overline{OF}=k(\alpha)=\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}$이므로

$\displaystyle 1-\frac{\cos^2\alpha}{(1+\sin\alpha)^2}=\frac{\cos^2\alpha}{(1+\sin\alpha)^2}\quad\Rightarrow\quad\sin\alpha=\frac13$

원 $\displaystyle O_1$의 넓이를 $\displaystyle S$라 하면, $\displaystyle S(\alpha)=\pi g^2=\frac{\pi\sin^2\alpha}{(1+\sin\alpha)^2}$이므로,

$\displaystyle \begin{aligned}\frac d{dt}S(\alpha)&=\frac d{dt}\frac{\pi\sin^2\alpha}{(1+\sin\alpha)^2}\\&=\pi\left(\frac{2\sin\alpha\cos\alpha\,\alpha^{\prime}\cdot(1+\sin\alpha)^2-\sin^2\alpha\cdot2(1+\sin\alpha)\cos\alpha\,\alpha^{\prime}}{(1+\sin\alpha)^4}\right)\end{aligned}$

$\displaystyle \left(\alpha^{\prime}=\frac{d\alpha}{dt}=\frac{d(\theta/2)}{dt}=\frac12\frac{d\theta}{dt}=\frac{\sqrt2}2\text{이므로}\right)$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\pi\frac{\sqrt2}2\left(\frac{2\sin\alpha\cos\alpha\cdot(1+\sin\alpha)-\sin^2\alpha\cdot2\cos\alpha}{(1+\sin\alpha)^3}\right)\\&=\pi\frac{\sqrt2}2\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{(1+\sin\alpha)^3}\\&=\pi\sqrt2\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{(1+\sin\alpha)^3}\end{aligned}$

점 $\displaystyle C$는 호 $\displaystyle BD$ 위의 점이므로 $\displaystyle \alpha=\theta/2$는 예각이고 $\displaystyle \sin\alpha=\frac13$이므로 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{2\sqrt2}3$이다. 그러므로

$\displaystyle \begin{aligned}\frac d{dt}S(\alpha)&=\pi\sqrt2\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{(1+\sin\alpha)^3}\\&=\pi\sqrt2\frac{(1/3)(2\sqrt2/3)}{(1+(1/3))^3}\\&=\pi\sqrt2\frac{3\sqrt2}{32}\\&=\frac{3\pi}{16}\end{aligned}$

(문제 3-2)

문제의 조건 $\displaystyle \overrightarrow{OQ}\perp\overrightarrow{AQ}$, $\displaystyle \overrightarrow{OQ}\perp\overrightarrow{CQ}$을 이해하기 위해, 위의 그림에 주어진 $\displaystyle \overrightarrow{YP}\perp\overrightarrow{XP}$를 고려하자.

$\displaystyle \overrightarrow{YP}\perp\overrightarrow{XP}\quad\Leftrightarrow\quad\overrightarrow{YP}\cdot\overrightarrow{XP}=0$

선분 $\displaystyle XY$의 이등분점 $\displaystyle Z$에 대해서

$\displaystyle \begin{aligned}0=\overrightarrow{YP}\cdot\overrightarrow{XP}&=(\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZP})\cdot(\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZP})\\&=\overrightarrow{YZ}\cdot\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{YZ}\cdot\overrightarrow{ZP}+\overrightarrow{ZP}\cdot\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZP}\cdot\overrightarrow{ZP}\end{aligned}$

점 $\displaystyle Z$가 선분 $\displaystyle XY$의 이등분점이므로 $\displaystyle \overrightarrow{YZ}=-\overrightarrow{XZ}$이다. $\displaystyle \vec r=\overrightarrow{YZ}$이라 하면,

$\displaystyle \begin{aligned}0&=\overrightarrow{YZ}\cdot\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{YZ}\cdot\overrightarrow{ZP}+\overrightarrow{ZP}\cdot\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZP}\cdot\overrightarrow{ZP}\\&=\vec r\cdot(-\vec r)+\vec r\cdot\overrightarrow{ZP}+\overrightarrow{ZP}\cdot(-\vec r)+\overrightarrow{ZP}\cdot\overrightarrow{ZP}\end{aligned}$

그러므로 $\displaystyle |\overrightarrow{ZP}|^2=|\vec r|^2$이다. 즉, 점 $\displaystyle P$는 선분 $\displaystyle XY$를 지름으로 하는 원 위에 있다.

점 $\displaystyle Q$가 $\displaystyle \overrightarrow{OQ}\perp\overrightarrow{AQ}$이므로 선분 $\displaystyle AO$를 지름으로 하는 원 위에 있고, 점 $\displaystyle Q$가 $\displaystyle \overrightarrow{OQ}\perp\overrightarrow{CQ}$이므로 선분 $\displaystyle CO$를 지름으로 하는 원 위에 있다. 그러므로 점 $\displaystyle Q$는 점 $\displaystyle O$에서 선분 $\displaystyle AC$에 내린 수선의 발이다.

점 $\displaystyle Q$는 점 $\displaystyle O$에서 선분 $\displaystyle AC$에 내린 수선의 발이므로 $\displaystyle \overline{OQ}=\sin\alpha$이다.

점 $\displaystyle C$는 호 $\displaystyle BD$ 위의 점이므로 $\displaystyle \alpha=\theta/2$는 예각이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{OQ}=\sin\alpha$가 최댓값을 갖기 위해서는 $\displaystyle \alpha$가 최댓값을 가져야 한다.

주어진 조건:$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{JO}&\ge\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{IF}\\\Leftrightarrow\quad\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{JO}&\ge-\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{IF}\\\Leftrightarrow\quad\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{JO}+\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{IF}&\ge0\end{aligned}$

($\displaystyle \overrightarrow{JI}\perp\overrightarrow{FO}$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{FO}=0$)

$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{JO}+\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{IF}&=\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{JO}+\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{IF}\ge0\\\Leftrightarrow\quad\overrightarrow{JI}\cdot(\overrightarrow{JO}+\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{IF})&\ge0\\\Leftrightarrow\quad\overrightarrow{JI}\cdot(\overrightarrow{JO}+\overrightarrow{IO})&\ge0\\\Leftrightarrow\quad\overrightarrow{JO}\cdot\overrightarrow{JI}&\ge\overrightarrow{IO}\cdot\overrightarrow{IJ}\end{aligned}$

여기에서 $\displaystyle \overrightarrow{JO}\cdot\overrightarrow{JI}$와 $\displaystyle \overrightarrow{IO}\cdot\overrightarrow{IJ}$는 각각 다음과 같다.

$\displaystyle \overrightarrow{JO}\cdot\overrightarrow{JI}=\overline{JO}\times\overline{JI}\times\cos(\angle OJI)=\overline{JO}\times\overline{JI}\times\frac{\overline{JF}}{\overline{JO}}=\overline{JI}\times\overline{JF}$

$\displaystyle \overrightarrow{IO}\cdot\overrightarrow{IJ}=\overline{IO}\times\overline{IJ}\times\cos(\angle OIJ)=\overline{IO}\times\overline{IJ}\times\frac{\overline{IF}}{\overline{IO}}=\overline{IJ}\times\overline{IF}$

$\displaystyle a=\overline{IF}$, $\displaystyle b=\overline{JF}$라고 하면, $\displaystyle b\times\overline{JI}=\overrightarrow{JO}\cdot\overrightarrow{JI}\ge\overrightarrow{IO}\cdot\overrightarrow{IJ}=a\times\overline{IJ}$이므로 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 사이에 다음의 부등식이 성립한다.$\displaystyle b\ge a$

직각삼각형 $\displaystyle IOF$에서 $\displaystyle \tan\theta=a/k$이고, 직각삼각형 $\displaystyle OJF$에서 $\displaystyle \tan\theta=k/b$이므로$\displaystyle b=k/\tan\theta\ge k\tan\theta=a$$\displaystyle \Rightarrow\quad\tan^2\theta\le1$$\displaystyle \Rightarrow\quad\theta\le\pi/4$

그러므로 $\displaystyle |\overrightarrow{OQ}|^2=\sin^2\alpha$의 최댓값은 $\displaystyle \alpha=\theta/2=\pi/8$일 때 발생한다.$\displaystyle \sin^2(\pi/8)=\frac{1-\cos(\pi/4)}2=\frac{1-\sqrt2/2}2=\frac{2-\sqrt2}4$

(문제 3-3)

해설의 편의를 위해 $\displaystyle \overline{OH}=k$, $\displaystyle \overline{OI}=\varkappa$라 하자. 삼각형 $\displaystyle IOF$에서 $\displaystyle \cos\theta=k/\varkappa$이다.$\displaystyle \Rightarrow\quad\varkappa=\frac k{\cos\theta}=\frac k{\cos(2\alpha)}=\frac{\cos\alpha}{\cos(2\alpha)(1+\sin\alpha)}$이다.

원 $\displaystyle O_2$의 반지름을 $\displaystyle f$, 선분 $\displaystyle OK$의 길이를 $\displaystyle h$라 하자. 직각삼각형 $\displaystyle KOL$에서 $\displaystyle (1-f)^2=h^2+f^2$이고 삼각형 $\displaystyle KAL$에서$\displaystyle \tan(\alpha/2)=\frac f{1+h}$$\displaystyle \Rightarrow\quad h=\frac f{\tan(\alpha/2)}-1$

그러므로 $\displaystyle (1-f)^2=\left(\frac f{\tan(\alpha/2)}-1\right)^2+f^2$

$\displaystyle \begin{aligned}\Rightarrow\quad1-2f+f^2&=\left(\frac f{\tan(\alpha/2)}\right)^2-\frac{2f}{\tan(\alpha/2)}+1+f^2\\\Rightarrow\quad-2&=\frac f{\tan^2(\alpha/2)}-\frac2{\tan(\alpha/2)}\\\Rightarrow\quad f&=2\tan(\alpha/2)-2\tan^2(\alpha/2)\\\Rightarrow\quad h(\alpha)&=1-2\tan\left(\frac\alpha2\right)\end{aligned}$

원 $\displaystyle O_2$가 선분 $\displaystyle OD$에 접하므로 $\displaystyle h=f$이다. 즉,$\displaystyle 2\tan\left(\frac\alpha2\right)-2\tan^2\left(\frac\alpha2\right)=1-2\tan\left(\frac\alpha2\right)$$\displaystyle \Rightarrow\quad2\tan^2\left(\frac\alpha2\right)-4\tan\left(\frac\alpha2\right)+1=0$$\displaystyle \Rightarrow\quad\tan\left(\frac\alpha2\right)=\frac{2\pm\sqrt2}2$

여기에서 $\displaystyle \tan\left(\frac\alpha2\right)=\frac{2+\sqrt2}2>1$인 경우,$\displaystyle \alpha/2>\pi/4$$\displaystyle \Rightarrow\quad\alpha>\pi/2$$\displaystyle \Rightarrow\quad\theta=2\alpha>\pi$가 되어 제시문 (나)에 위배된다.

그러므로$\displaystyle \tan\left(\frac\alpha2\right)=\frac{2-\sqrt2}2$

한 각이 $\displaystyle \alpha/2$이고 두 변의 길이가 각각 $\displaystyle 2$, $\displaystyle 2-\sqrt2$인 직각삼각형에서 빗변의 길이를 $\displaystyle \lambda$라고 하면, $\displaystyle \lambda^2=2^2+(2-\sqrt2)^2=10-4\sqrt2$이다.

삼각함수의 덧셈정리에 의해서 다음과 같이 $\displaystyle \sin\alpha$와 $\displaystyle \cos\alpha$를 구할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}\sin\alpha&=\sin(2\alpha/2)=2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\\&=2\frac{2-\sqrt2}{\lambda}\frac2\lambda=\frac{4(2-\sqrt2)}{\lambda^2}=\frac{4(2-\sqrt2)}{10-4\sqrt2}=\frac{4-2\sqrt2}{5-2\sqrt2}\\\cos\alpha&=\cos(2\alpha/2)=2\cos^2(\alpha/2)-1\\&=2\frac4{\lambda^2}-1=\frac{8-\lambda^2}{\lambda^2}=\frac{8-(10-4\sqrt2)}{10-4\sqrt2}=\frac{-1+2\sqrt2}{5-2\sqrt2}\\\cos^2\alpha&=\left(\frac{-1+2\sqrt2}{5-2\sqrt2}\right)^2=\frac{9-4\sqrt2}{33-20\sqrt2}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\text{그러므로 }\overline{OI}=\varkappa&=\frac{\cos\alpha}{(2\cos^2\alpha-1)(1+\sin\alpha)}=\frac{\frac{-1+2\sqrt2}{5-2\sqrt2}}{\left(2\frac{9-4\sqrt2}{33-20\sqrt2}-1\right)\left(1+\frac{4-2\sqrt2}{5-2\sqrt2}\right)}\\&=\frac{-1+2\sqrt2}{\left(\frac{18-8\sqrt2}{33-20\sqrt2}-\frac{33-20\sqrt2}{33-20\sqrt2}\right)((5-2\sqrt2)+(4-2\sqrt2))}\\&=\frac{(-1+2\sqrt2)(33-20\sqrt2)}{(-15+12\sqrt2)(9-4\sqrt2)}\\&=\frac{-113+86\sqrt2}{-231+168\sqrt2}\\&=\frac{-113+86\sqrt2}{-21(11-8\sqrt2)}\\&=\frac{113-86\sqrt2}{21(11-8\sqrt2)}\\&=\frac{(113-86\sqrt2)(11+8\sqrt2)}{21(11-8\sqrt2)(11+8\sqrt2)}\\&=\frac{(113-86\sqrt2)(11+8\sqrt2)}{21(121-128)}\\&=\frac{-133-42\sqrt2}{21\times(-7)}\\&=\frac{19+6\sqrt2}{21}\end{aligned}$

그러므로 $\displaystyle \overline{OI}=\frac{u+v\sqrt2}w=\frac{19+6\sqrt2}{21}$이다. 그러므로 $\displaystyle u+v+w=19+6+21=46$이다.