의예과 1번

(문제 1-1)

두 팀이 7전 4선승제 경기에서 치르게 되는 시합 수를 확률변수 $\displaystyle N$으로 정의

$\displaystyle N$이 가능한 값은 4, 5, 6, 7

$\displaystyle P(N=4)=P(4\text{승으로 경기 마침})=(1/2)^4\times2=(1/2)^3$

$\displaystyle P(N=5)=P(4\text{승 1패로 경기 마침})={}_{4}\mathrm{C}_{3}\cdot(1/2)^3\cdot(1/2)\times(1/2)\times2=4\cdot(1/2)^5\times2=(1/2)^2$

$\displaystyle P(N=6)=P(4\text{승 2패로 경기 마침})={}_{5}\mathrm{C}_{3}\cdot(1/2)^3\cdot(1/2)^2\times(1/2)\times2=10\cdot(1/2)^6\times2=5\times(1/2)^4$

$\displaystyle P(N=7)=P(4\text{승 3패로 경기 마침})={}_{6}\mathrm{C}_{3}\cdot(1/2)^3\cdot(1/2)^3\times(1/2)\times2=20\cdot(1/2)^7\times2=5\times(1/2)^4$

$\displaystyle N$의 확률분포표는 다음과 같다.

시합 수의 평균$\displaystyle =E(N)=4\times2/16+5\times4/16+6\times5/16+7\times5/16=93/16=5.8125$

(문제 1-2)

(i) 마진이 1인 승패 상황의 최종 승리 확률

1승 :

$\displaystyle (1/2)^3+{}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot(1/2)^2\cdot(1/2)\cdot(1/2)+{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot(1/2)^2\cdot(1/2)^2\cdot(1/2)+{}_{5}\mathrm{C}_{2}\cdot(1/2)^2\cdot(1/2)^3\cdot(1/2)=21/32=0.65625$

2승 1패 : $\displaystyle (1/2)^2+{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot(1/2)\cdot(1/2)\cdot(1/2)+{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot(1/2)\cdot(1/2)^2\cdot(1/2)=11/16=0.6875$

3승 2패 : $\displaystyle (1/2)+(1/2)\cdot(1/2)=3/4=0.75$

(ii) 마진이 2인 상황의 승리 확률

2승 : $\displaystyle (1/2)^2+{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot(1/2)\cdot(1/2)\cdot(1/2)+{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot(1/2)\cdot(1/2)^2\cdot(1/2)+{}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot(1/2)\cdot(1/2)^3\cdot(1/2)=13/16=0.8125$

3승 1패 : $\displaystyle (1/2)+(1/2)\cdot(1/2)+(1/2)^2\cdot(1/2)=7/8=0.875$

(iii) 마진이 3인 경우의 승리 확률

3승 : $\displaystyle (1/2)+(1/2)\cdot(1/2)+(1/2)^2\cdot(1/2)+(1/2)^3\cdot(1/2)=15/16=0.9375$

마진이 2 또는 3이면(또는 2 이상) 최종 승리 확률이 80% 이상

(문제 1-3)

100번의 7전 4선승제 경기에서 3승 2패의 팀이 최종 승리하는 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$로 정의

$\displaystyle X$는 횟수 100, 확률 0.75의 이항분포 $\displaystyle B(100,0.75)$를 따른다.

횟수가 충분히 크므로 $\displaystyle X$는 근사적으로 평균 $\displaystyle 100\times0.75=75$, 분산 $\displaystyle 100\times0.75\times0.25=18.75$의 정규분포 $\displaystyle N(75,18.75)$를 따른다.

$\displaystyle P(X\ge80)=P((X-75)/\sqrt{18.75}\ge(80-75)/\sqrt{18.75})\fallingdotseq P(Z\ge2/\sqrt3)=P(Z\ge1.16)=0.5-0.3770=0.123$

따라서 3승 2패의 팀이 80번 이상 최종 승리할 확률은 0.123

적절한 근거를 바탕으로 제시한 결과는 적절하게 평가

(문제 1-4)

(i) 승률 0.6의 팀이 단판승부에서 승리할 확률은 0.6

(ii) 승률 0.6의 팀이 5전 3선승제에서 승리할 확률

$\displaystyle (3/5)^3+{}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot(3/5)^2\cdot(2/5)\cdot(3/5)+{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot(3/5)^2\cdot(2/5)^2\cdot(3/5)=2133/3125=0.68256$

최종 승리 확률이 더 큰 5전 3선승제 방식이 유리