자연계열 3번

(문제 3-1) 배점 10점

(정답) $\displaystyle \alpha=50$, $\displaystyle \beta=54$

(풀이)

$\displaystyle x^3-12x^2+45x-k=0$ 방정식의 실수해 3개가 존재하기 위해서는 함수 $\displaystyle f(x)=x^3-12x^2+45x-k$의 극댓값이 0보다 크거나 같고, 극솟값이 0보다 작거나 같아야 한다.

극댓값 극솟값을 구하기 위해서 $\displaystyle f(x)$를 미분하면,

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-24x+45=3(x-3)(x-5)$이므로 $\displaystyle x=3,x=5$에서 극값을 갖는다.

다시 한 번 미분하면

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=6x-24$이고, $\displaystyle x=3$이면, $\displaystyle 6\times3-24=-6<0$이므로 극댓값, $\displaystyle x=5$이면, $\displaystyle 6\times5-24=6>0$이므로 극솟값을 갖는다.

따라서,

$\displaystyle f(3)=27-108+135-k=54-k\ge0$,

$\displaystyle f(5)=125-300+225-k=50-k\le0$이고,

$\displaystyle 50\le k\le54$이므로, $\displaystyle \alpha=50$, $\displaystyle \beta=54$이다.

(문제 3-2) 배점 5점

(정답) $\displaystyle k=50,54$

(풀이)

$\displaystyle x^3-12x^2+45x-k=0$과

$\displaystyle a,b,c$ 근으로 갖는 삼차방정식 $\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0$을 전개한

$\displaystyle x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0$를 비교하면

$\displaystyle a+b+c=12$ (1), $\displaystyle ab+bc+ca=45$(2), $\displaystyle abc=k$(3) 이므로

$\displaystyle a,b,c$가 모두 정수이면, $\displaystyle k=abc$도 정수이므로 (문제 3-1) 범위에서 가능한 $\displaystyle k$는 50, 51, 52, 53, 54이다.

이중 $\displaystyle a+b+c=12$이고, $\displaystyle ab+bc+ca=45$인 양의 정수 $\displaystyle (a,b,c)$는 $\displaystyle (3,3,6)$과 $\displaystyle (2,5,5)$만 가능하다.

$\displaystyle (2,5,5)$인 경우 $\displaystyle k=2\times5\times5=50$이고,

$\displaystyle (3,3,6)$인 경우 $\displaystyle k=3\times3\times6=54$이다.

(문제 3-3) 배점 10점

(정답) 27

(풀이)

삼각형의 가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 합보다 작아야 한다. $\displaystyle 2+5>5$, $\displaystyle 3+3=6$이므로 (문제 3-2)에서 구한 $\displaystyle a,b,c$중 삼각형을 이루는 조합은 $\displaystyle (2,5,5)$이다.

삼각형 $\displaystyle ABC$에서의 코사인 법칙을 적용하면

$\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, $\displaystyle b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$, $\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

$\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\displaystyle \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$, $\displaystyle \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$\displaystyle ab\cos C+bc\cos A+ca\cos B=\frac{b^2+c^2-a^2}2+\frac{c^2+a^2-b^2}2+\frac{a^2+b^2-c^2}2=\frac{a^2+b^2+c^2}2=\frac{2^2+5^2+5^2}2=27$