자연계열 1번

[1-1]두 초점 $\displaystyle F(c,0)$, $\displaystyle F^{\prime}(-c,0)$에서의 거리의 합이 $\displaystyle 2a$인 타원의 방정식은$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (단, $\displaystyle a>c>0$, $\displaystyle b^2=a^2-c^2$)여기서, $\displaystyle 2a=10$이므로 $\displaystyle a=5$이다.또한 $\displaystyle c=4$이므로, $\displaystyle b^2=5^2-4^2=9$가 되어 $\displaystyle b=3$이다.따라서 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}9=1$이다.

[1-2]선분 $\displaystyle PF^{\prime}$의 길이를 $\displaystyle L$이라 하면 선분 $\displaystyle PF$의 길이는 $\displaystyle 10-L$이다.선분 $\displaystyle FF^{\prime}$의 길이가 $\displaystyle 8$이므로, 삼각비에 의하여 다음 관계가 성립한다.$\displaystyle L\sin\alpha=(10-L)\sin\beta,\quad L\cos\alpha+(10-L)\cos(\pi-\beta)=8.$두 식을 정리하여$\displaystyle (10-L)\sin\beta=L\sin\alpha,\quad(10-L)\cos\beta=L\cos\alpha-8$로 두고 제곱해서 더하면$\displaystyle (10-L)^2=L^2-16L\cos\alpha+64$이 되므로$\displaystyle L=\frac{36}{20-16\cos\alpha}=6.$

[1-3]점 $\displaystyle P$가 $\displaystyle P_1$의 위치에 있을 때, 위에서 구한 두 식$\displaystyle (10-L)\sin\beta=L\sin\alpha,\ (10-L)\cos\beta=L\cos\alpha-8$로부터$\displaystyle \tan\beta=\frac{L\sin\alpha}{L\cos\alpha-8}=\frac{6\sin\alpha}{6\cos\alpha-8}$를 얻는다.여기서 $\displaystyle \cos\alpha=\frac78$이므로 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}8$이고 따라서 $\displaystyle \tan\beta=-\frac{3\sqrt{15}}{11}.$점 $\displaystyle P$가 $\displaystyle P_2$의 위치에 있을 때, 위에서 구한 두 식$\displaystyle (10-L)\sin\beta=L\sin\alpha,\ (10-L)\cos\beta=L\cos\alpha+8$로부터$\displaystyle \tan\beta=\frac{L\sin\alpha}{L\cos\alpha+8}=\frac{\frac{18}{17}\frac{\sqrt{15}}8}{\frac{18}{17}\frac78+8}=\frac{9\sqrt{15}}{607}.$