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자연계열 1번

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연세대 신촌캠퍼스 2019학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2019su/jayeon_1

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문제

※다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 1]

좌표평면 위의 두 초점 F(4,0)\displaystyle \mathrm F(4,0), F′(−4,0)\displaystyle \mathrm F^{\prime}(-4,0)로부터 거리의 합이 10\displaystyle 10인 타원 C\displaystyle C가 있다. 타원 C\displaystyle C 위의 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)와 초점 F′(−4,0)\displaystyle \mathrm F^{\prime}(-4,0)를 지나는 직선이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각을 α\displaystyle \alpha라 하고, 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)와 초점 F(4,0)\displaystyle \mathrm F(4,0)를 지나는 직선이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각을 β\displaystyle \beta라 하자.

[1-1] 타원 C\displaystyle C의 방정식을 구하시오. [5점]

[1-2] cos⁡α=78\displaystyle \cos\alpha=\frac78 (단, 0<α<π2\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2)일 때, 선분 PF′\displaystyle \mathrm{PF}^{\prime}의 길이를 구하시오. [5점]

[1-3] cos⁡α=78\displaystyle \cos\alpha=\frac78 (단, 0<α<π2\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2)일 때, tan⁡β\displaystyle \tan\beta의 값을 구하시오. [5점]

해설강의 준비중

연세대 신촌캠퍼스 2019학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2019su/jayeon_1

+5점 · [1-1] [상] : 계산 과정이 논리적일 뿐만 아니라 요구하는 정답까지 맞은 경우 [중] : 계산 과정은 맞으나 답을 도출하는 과정에서 경미한 실수를 범한 경우 [하] : [상], [중]을 제외한 나머지 경우

[1-1]두 초점 F(c,0)\displaystyle F(c,0), F′(−c,0)\displaystyle F^{\prime}(-c,0)에서의 거리의 합이 2a\displaystyle 2a인 타원의 방정식은x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (단, a>c>0\displaystyle a>c>0, b2=a2−c2\displaystyle b^2=a^2-c^2)여기서, 2a=10\displaystyle 2a=10이므로 a=5\displaystyle a=5이다.또한 c=4\displaystyle c=4이므로, b2=52−42=9\displaystyle b^2=5^2-4^2=9가 되어 b=3\displaystyle b=3이다.따라서 타원의 방정식은 x225+y29=1\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}9=1이다.

+5점 · [1-2] [상] : ⅰ), ⅱ)에 대한 계산 과정 뿐만 아니라 요구하는 정답 모두 맞은 경우 [중] : 계산 과정은 맞으나 도출 과정에서 답이 하나만 맞은 경우 [하] : [상], [중]을 제외한 나머지 경우

[1-2]선분 PF′\displaystyle PF^{\prime}의 길이를 L\displaystyle L이라 하면 선분 PF\displaystyle PF의 길이는 10−L\displaystyle 10-L이다.선분 FF′\displaystyle FF^{\prime}의 길이가 8\displaystyle 8이므로, 삼각비에 의하여 다음 관계가 성립한다.Lsin⁡α=(10−L)sin⁡β,Lcos⁡α+(10−L)cos⁡(π−β)=8.\displaystyle L\sin\alpha=(10-L)\sin\beta,\quad L\cos\alpha+(10-L)\cos(\pi-\beta)=8.두 식을 정리하여(10−L)sin⁡β=Lsin⁡α,(10−L)cos⁡β=Lcos⁡α−8\displaystyle (10-L)\sin\beta=L\sin\alpha,\quad(10-L)\cos\beta=L\cos\alpha-8로 두고 제곱해서 더하면(10−L)2=L2−16Lcos⁡α+64\displaystyle (10-L)^2=L^2-16L\cos\alpha+64이 되므로L=3620−16cos⁡α=6.\displaystyle L=\frac{36}{20-16\cos\alpha}=6.

타원 위의 점 P가 위쪽에 있는 경우

그런데, 점 P\displaystyle P가 아래의 그림과 같이 P2\displaystyle P_2의 위치에 있을 때도 직선과 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각은 α\displaystyle \alpha이다. 이때에는 다음 관계가 성립한다.Lsin⁡α=(10−L)sin⁡β,(10−L)cos⁡β−Lcos⁡α=8.\displaystyle L\sin\alpha=(10-L)\sin\beta,\quad(10-L)\cos\beta-L\cos\alpha=8.이를 이항하여 제곱해서 더하면(10−L)2=L2+16Lcos⁡α+64\displaystyle (10-L)^2=L^2+16L\cos\alpha+64가 되므로L=3620+16cos⁡α=1817.\displaystyle L=\frac{36}{20+16\cos\alpha}=\frac{18}{17}.

직선과 타원의 두 교점 P₁, P₂
+5점 · [1-3] [상] : ⅰ), ⅱ)에 대한 계산 과정 뿐만 아니라 요구하는 정답 모두 맞은 경우 [중] : 계산 과정은 맞으나 도출 과정에서 답이 하나만 맞은 경우 [하] : [상], [중]을 제외한 나머지 경우

[1-3]점 P\displaystyle P가 P1\displaystyle P_1의 위치에 있을 때, 위에서 구한 두 식(10−L)sin⁡β=Lsin⁡α, (10−L)cos⁡β=Lcos⁡α−8\displaystyle (10-L)\sin\beta=L\sin\alpha,\ (10-L)\cos\beta=L\cos\alpha-8로부터tan⁡β=Lsin⁡αLcos⁡α−8=6sin⁡α6cos⁡α−8\displaystyle \tan\beta=\frac{L\sin\alpha}{L\cos\alpha-8}=\frac{6\sin\alpha}{6\cos\alpha-8}를 얻는다.여기서 cos⁡α=78\displaystyle \cos\alpha=\frac78이므로 sin⁡α=158\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}8이고 따라서 tan⁡β=−31511.\displaystyle \tan\beta=-\frac{3\sqrt{15}}{11}.점 P\displaystyle P가 P2\displaystyle P_2의 위치에 있을 때, 위에서 구한 두 식(10−L)sin⁡β=Lsin⁡α, (10−L)cos⁡β=Lcos⁡α+8\displaystyle (10-L)\sin\beta=L\sin\alpha,\ (10-L)\cos\beta=L\cos\alpha+8로부터tan⁡β=Lsin⁡αLcos⁡α+8=1817158181778+8=915607.\displaystyle \tan\beta=\frac{L\sin\alpha}{L\cos\alpha+8}=\frac{\frac{18}{17}\frac{\sqrt{15}}8}{\frac{18}{17}\frac78+8}=\frac{9\sqrt{15}}{607}.

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