자연계열 3번

[3-1]$\displaystyle 1\leq k\leq35$일 때, $\displaystyle k$번째 대각선의 $\displaystyle i$번째 숫자는 $\displaystyle 1+35(k-1)-34(i-1)$임을 알 수 있다. (단, $\displaystyle 1\leq i\leq k$).한편, $\displaystyle k$번째 대각선의 $\displaystyle i$번째 숫자는 $\displaystyle n=1+2+\cdots+(k-1)+i=\frac{k(k-1)}2+i$번째 숫자이다.따라서, $\displaystyle k$번째 대각선의 마지막 숫자는 $\displaystyle k$이며, $\displaystyle n=\frac{(k-1)k}2+k=\frac{k(k+1)}2$ 번째 숫자이다.$\displaystyle n=300$인 숫자가 위치한 대각선을 찾으려면 $\displaystyle \frac{k(k+1)}2\leq300$을 만족하는 최대의 $\displaystyle k$를 구하면 된다.Comment. 일반적으로는 $\displaystyle \frac{k(k+1)}2\geq n$을 만족하는 가장 작은 $\displaystyle k$를 구한다. 여기서는 $\displaystyle 300=\frac{24\times25}2$이므로 결과가 같다.그런데 $\displaystyle k=24$일 때, $\displaystyle \frac{k(k+1)}2=\frac{24\times25}2=300$이므로, $\displaystyle n=300$은 $\displaystyle k=24$번째 대각선의 $\displaystyle i=24$번째 숫자이므로 $\displaystyle 1+35\times23-34\times23=24$이다.따라서, $\displaystyle f(300)=24$이다.

[3-2]위와 같이 $\displaystyle 1\leq k\leq35$일 때, $\displaystyle k$번째 대각선의 $\displaystyle i$번째 숫자는 $\displaystyle n=\frac{k(k-1)}2+i$번째 숫자이다.그런데, $\displaystyle k$번째 대각선의 $\displaystyle i$번째 숫자는 $\displaystyle 1+35(k-1)-34(i-1)$이므로 $\displaystyle f(n)=n$을 만족하려면 $\displaystyle \frac{k(k-1)}2+i=1+35(k-1)-34(i-1)$이어야 한다.이를 정리하면 $\displaystyle \frac{k(k-1)}2=35(k-i)$이므로, $\displaystyle k(k-1)=70(k-i)$이 되어 $\displaystyle k(k-1)$이 $\displaystyle 70$의 배수여야 한다. $\displaystyle 1\leq k\leq35$의 범위 안에서 $\displaystyle k(k-1)$이 $\displaystyle 70=2\times5\times7$의 배수가 되는 $\displaystyle k$는 $\displaystyle k=1,15,21,35$뿐이다.이 때 $\displaystyle i=k-\frac{k(k-1)}{70}$는 각각 $\displaystyle i=1,12,15,18$이므로 $\displaystyle n=\frac{k(k-1)}2+i$는 각각 $\displaystyle n=1,117,225,613$이다.대칭적으로 생각하여, $\displaystyle 1\leq k<35$일 때, $\displaystyle (70-k)$번째 대각선의 뒤에서 $\displaystyle i$번째 숫자는 $\displaystyle 1225-35(k-1)+34(i-1)$이다. (단, $\displaystyle 1\leq i\leq k$).또한 $\displaystyle (70-k)$번째 대각선의 뒤에서 $\displaystyle i$번째 숫자는 $\displaystyle n=1225-\frac{k(k-1)}2-(i-1)$번째 숫자이다.따라서 $\displaystyle f(n)=n$을 만족하려면$\displaystyle 1225-35(k-1)+34(i-1)=1225-\frac{k(k-1)}2-(i-1)$이어야 한다.이를 정리하면 $\displaystyle \frac{k(k-1)}2=35(k-i)$이 되므로, 이를 만족하는 $\displaystyle (k,i)$쌍은 위의 계산에 의하여 $\displaystyle (1,1),\ (15,12),\ (21,15)$이고, $\displaystyle n=1225-\frac{k(k-1)}2-(i-1)$은 각각 $\displaystyle n=1225,1109,1001$이 된다.따라서, $\displaystyle f(n)=n$이 되는 모든 $\displaystyle n$은 $\displaystyle n=1,117,225,613,1001,1109,1225$이다.