소수

Comment. 소수가 무한히 많다는 사실은 『원론』이 나온 기원전 300년경부터 알려져 있었고, 지금까지 나온 증명만 200가지에 가깝다. 그중 2015년 노스실드가 발표한 증명은 한 줄로 끝난다는 점에서 눈에 띈다.소수가 유한개라고 가정하고, 모든 소수의 곱을 $\displaystyle Q$라 하자. 각 소수 $\displaystyle p$에 대하여 $\displaystyle 0<\frac{\pi}{p}\le\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \sin\frac{\pi}{p}>0$이다. 또한 $\displaystyle p$는 $\displaystyle Q$의 약수이므로 $\displaystyle \frac{2Q\pi}{p}$는 $\displaystyle 2\pi$의 정수배다. 따라서 이를 더해도 사인값은 변하지 않는다.$\displaystyle 0<\prod_{p}\sin\left(\frac{\pi}{p}\right)=\prod_{p}\sin\left(\frac{\pi}{p}+\frac{2Q\pi}{p}\right)=\prod_{p}\sin\left(\frac{(1+2Q)\pi}{p}\right)=0$마지막 값이 $\displaystyle 0$인 까닭은 $\displaystyle 1+2Q>1$이므로 소인수를 갖고, 가정에 따라 그 소인수도 위의 곱에 포함되기 때문이다. 해당 소수 $\displaystyle p$에 대해서는 $\displaystyle \frac{1+2Q}{p}$가 정수이므로 사인값이 $\displaystyle 0$이다. 양수인 값이 $\displaystyle 0$과 같아지는 모순이 생겼으므로, 소수는 무한히 많다.〔Sam Northshield, 「A One-Line Proof of the Infinitude of Primes」, 『The American Mathematical Monthly』 122-5 (2015), p. 466. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.466〕다만 마지막 단계는 결국 $\displaystyle 1+2Q$의 소인수를 찾는 일, 곧 유클리드의 논법 그 자체다. 새 증명이라기보다 유클리드를 삼각함수로 갈아입힌 것에 가깝다고 본다.

Comment. 소수는 어떤 규칙을 갖고 나타나는가? 이 질문은 대입 수준을 넘어, 아직 인류가 완전히 풀어내지 못한 문제로 이어진다. 소수의 분포를 이해하는 데 핵심적인 리만 가설은 밀레니엄 7대 난제 중 하나이며, 힐베르트가 1900년에 제시한 수학의 주요 난제에도 포함되어 있다. 소수의 규칙성을 탐구하는 과정에서 원자핵의 에너지 준위와 뜻밖의 연결까지 발견되었다.리만 가설은 “리만 제타 함수 $\displaystyle \zeta(s)=0$을 만족하는 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.”라는 명제다. 겉보기에는 소수와 무관해 보이지만, 이 근들의 위치가 소수의 분포와 깊이 연결되어 있다. 수많은 수학자가 지금도 이 문제에 도전하고 있다.영화 뷰티풀 마인드(A Beautiful Mind, 2001)의 모델로 유명한 수학자 존 내쉬(John Nash, 1928~2015)도 리만 가설에 도전했다. 그는 게임이론 연구로 1994년 노벨 경제학상을 받았으며, 2015년에는 아벨상을 수상했다. 1966년 필즈상과 2004년 아벨상을 받은 수학자 마이클 아티야(Michael Atiyah, 1929~2019)는 2018년 9월 리만 가설을 증명했다고 발표했으나, 증명으로 인정받지는 못했다. 수학의 거장들에게도 쉽게 문을 열어주지 않는 난제인 셈이다.