자연계열 1번

[문제 1-1] 오른쪽으로 출발하여 다섯 번 방향을 바꾸므로수평 이동 세 번과 수직 이동 세 번이 번갈아 나타난다.각 이동 거리는 양의 정수이고각 방향의 합은 $\displaystyle 21$이므로$\displaystyle x_1+x_2+x_3=21,\qquad y_1+y_2+y_3=21$이다.따라서 경로의 수는$\displaystyle \left({}_{20}\mathrm C_2\right)^2=36100$이다.

[문제 1-2] 정지점을 $\displaystyle (x,y)$라 하면$\displaystyle x,y\ge0$, $\displaystyle x^2+y^2=58^2$이고이동 거리는 $\displaystyle x+y$이다.마지막 이동이 수평 또는 수직이므로적어도 한 좌표는 정수이다.대칭성에 의해 $\displaystyle x$가 정수일 때만 비교하면 충분하다.

$\displaystyle F(x)=x+\sqrt{58^2-x^2}$라 하면$\displaystyle x<29\sqrt2$에서 증가하고 $\displaystyle x>29\sqrt2$에서 감소한다.$\displaystyle 41<29\sqrt2<42$이므로후보는 $\displaystyle x=41,42$이고,$\displaystyle F(41)=41+3\sqrt{187}>82=F(42)$이다.원점에서 $\displaystyle (41,0)$까지 간 뒤 위로 이동하면 이 정지점에 도달하므로최댓값은 $\displaystyle 41+3\sqrt{187}$이다.